Determinar o volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano pi: 6 x+7 y+14 z-42=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um tetraedro que é formado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano dado pela equação . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra para encontrar os interceptos do plano com os eixos e, a partir daí, calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde o plano 6x + 7(0) + 14(0) - 42 = 0 Rightarrow 6x - 42 = 0 Rightarrow x = 7 intercepta cada um dos eixos coordenados. Para encontrar o intercepto com o eixo x, fazemos y = 0 e z = 0 na equação do plano:
Então, o intercepto no eixo x é (7, 0, 0).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o intercepto com o eixo y, fazendo x = 0 e z = 0:
6(0) + 7y + 14(0) - 42 = 0 Rightarrow 7y - 42 = 0 Rightarrow y = 6
O intercepto no eixo y é (0, 6, 0).

Passo 4

Por último, encontramos o intercepto com o eixo z, fazendo x = 0 e y = 0:
6(0) + 7(0) + 14z - 42 = 0 Rightarrow 14z - 42 = 0 Rightarrow z = 3
Então, o intercepto no eixo z é (0, 0, 3).

Passo 5

Agora que temos os três interceptos (7, 0, 0), (0, 6, 0) e (0, 0, 3), podemos visualizar o tetraedro formado por esses pontos e pela origem (0, 0, 0). Para calcular o volume desse tetraedro, usamos a fórmula:
V = a times b times c6
Onde , e são os interceptos nos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 6

Substituindo os valores que encontramos:
V = 7 times 6 times 36 = 1266 = 21

Resposta

O volume do tetraedro é de 21 unidades cúbicas.

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