Determinar o volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um tetraedro que é formado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano dado pela equação
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra para encontrar os interceptos do plano com os eixos e, a partir daí, calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde o plano
intercepta cada um dos eixos coordenados. Para encontrar o intercepto com o eixo x, fazemos y = 0 e z = 0 na equação do plano:
Então, o intercepto no eixo x é (7, 0, 0).
Passo 3
Agora, vamos encontrar o intercepto com o eixo y, fazendo x = 0 e z = 0:
O intercepto no eixo y é (0, 6, 0).
Passo 4
Por último, encontramos o intercepto com o eixo z, fazendo x = 0 e y = 0:
Então, o intercepto no eixo z é (0, 0, 3).
Passo 5
Agora que temos os três interceptos (7, 0, 0), (0, 6, 0) e (0, 0, 3), podemos visualizar o tetraedro formado por esses pontos e pela origem (0, 0, 0). Para calcular o volume desse tetraedro, usamos a fórmula:
Onde
,
e
são os interceptos nos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 6
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O volume do tetraedro é de 21 unidades cúbicas.