Se e D são todos não nulos, mostre que o tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano tem um volume igual a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o volume de um tetraedro formado pelos planos coordenados , , e o plano é igual a . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de volumes de tetraedros para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o plano A x + D = 0 Rightarrow x = -DA intercepta os eixos coordenados. Para encontrar esses pontos de interseção:
Interseção com o eixo B y + D = 0 Rightarrow y = -DB : Define C z + D = 0 Rightarrow z = -DC e .
Então, o ponto de interseção é .
Interseção com o eixo : Define e .
Então, o ponto de interseção é .
Interseção com o eixo : Define e .
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, temos os vértices do tetraedro:
Origem V = 16 | a cdot (b times c) |
Para encontrar o volume do tetraedro formado por esses pontos, usamos a fórmula do volume para um tetraedro com vértices na origem e nos pontos , , :
Onde , , são vetores que partem da origem até os pontos dados.
Passo 4
Vamos definir os vetores:
a = (-DA, 0, 0)
b = (0, -DB, 0)
c = (0, 0, -DC)
Primeiro, calculamos o produto vetorial b times c = i & j & k 0 & -DB & 0 0 & 0 & -DC = i ( -DB cdot -DC - 0 cdot 0 ) - j ( 0 cdot -DC - 0 cdot 0 ) + k ( 0 cdot 0 - 0 cdot -DB ) :
= i ( D^2B C ) - j(0) + k(0)
= ( D^2B C, 0, 0 )
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar a cdot (b times c) = (-DA, 0, 0) cdot ( D^2B C, 0, 0 ) = -DA cdot D^2B C + 0 + 0 = -D^3A B C :