Se e D são todos não nulos, mostre que o tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano tem um volume igual a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o volume de um tetraedro formado pelos planos coordenados , , e o plano é igual a . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de volumes de tetraedros para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o plano intercepta os eixos coordenados. Para encontrar esses pontos de interseção:
Interseção com o eixo : Define e .
Então, o ponto de interseção é .
Interseção com o eixo : Define e .
Então, o ponto de interseção é .
Interseção com o eixo : Define e .
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, temos os vértices do tetraedro:
Origem
Para encontrar o volume do tetraedro formado por esses pontos, usamos a fórmula do volume para um tetraedro com vértices na origem e nos pontos , , :
Onde , , são vetores que partem da origem até os pontos dados.