Se e D são todos não nulos, mostre que o tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano tem um volume igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o volume de um tetraedro formado pelos planos coordenados , , e o plano é igual a . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de volumes de tetraedros para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o plano intercepta os eixos coordenados. Para encontrar esses pontos de interseção:
  • Interseção com o eixo : Define e .
    Então, o ponto de interseção é .
  • Interseção com o eixo : Define e .
    Então, o ponto de interseção é .
  • Interseção com o eixo : Define e .
    Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, temos os vértices do tetraedro:
  1. Origem
Para encontrar o volume do tetraedro formado por esses pontos, usamos a fórmula do volume para um tetraedro com vértices na origem e nos pontos , , :
Onde , , são vetores que partem da origem até os pontos dados.

Passo 4

Vamos definir os vetores:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume:

Resposta

O volume do tetraedro é igual a .

Exercícios relacionados

Determinar o volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano
Encontrar, a partir da equação dada do plano , suas intersecções sobre os eixos, em cada uma das alíneas. Construir a figura. a)
Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: d)
Assinale o sistema cuja solução é a dupla .
a)
b)
c)
d)
e)