Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de , e de forma que a matriz dada seja ortogonal. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Para resolver, vamos usar as propriedades das matrizes ortogonais, que envolvem vetores coluna sendo ortonormais (ou seja, vetores de comprimento 1 e mutuamente perpendiculares).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se suas colunas são vetores ortonormais. Isso significa duas coisas:
Cada coluna tem comprimento 1.
As colunas são perpendiculares entre si.
Então, vamos verificar essas duas condições para a matriz dada.
Passo 3
Vamos anotar a matriz para facilitar:
1 & 0 & 0 0 & 1raiz2 & 1raiz2 x & y & z
As colunas são:
Primeira coluna: 1 0 x
Segunda coluna: 0 1raiz2 y
Terceira coluna: 0 1raiz2 z
Passo 4
Primeiro, vamos garantir que cada coluna tenha comprimento 1.
Agora, precisamos garantir que as colunas sejam perpendiculares entre si. Isso significa que o produto interno entre quaisquer duas colunas deve ser zero.
Vamos verificar o produto interno entre a segunda e a terceira coluna:
0 1raiz2 y cdot 0 1raiz2 z = 0 times 0 + 1raiz2 times 1raiz2 + y times z = 12 + yz = 0
Então:
12 + yz = 0 implies yz = -12
Passo 8
Sabemos que yz = 1raiz2 times -1raiz2 = -12 e yz = -1raiz2 times 1raiz2 = -12 . Vamos testar as combinações: