Determine se os vetores abaixo formam um conjunto linearmente dependente (L.D) ou independente (L.I). e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores , e são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.). Isso é um lance de Álgebra Linear, onde a gente verifica se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Se os vetores são linearmente independentes (L.I.), isso quer dizer que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Já se são linearmente dependentes (L.D.), pelo menos um vetor pode ser expresso como combinação dos demais.
Passo 3
Para determinar isso, a gente monta uma matriz com os vetores como colunas e calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for igual a zero, eles são dependentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando os valores:
det(A) = 1 times (6 times 1 - 2 times (-1)) - 5 times (-2 times 1 - 3 times 2) + 3 times (-2 times (-1) - 6 times 3)
det(A) = 1 times (6 + 2) - 5 times (-2 - 6) + 3 times (2 - 18)
det(A) = 8 + 40 - 48 = 0
Resposta
Como o determinante da matriz é igual a zero, os vetores , e são linearmente dependentes (L.D.).