Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
f(x, y)=rllx^3+x^2+x y^2+y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 2, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar os pontos de continuidade da função . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Multivariável, especificamente o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar os pontos onde a função pode não ser contínua, especialmente no ponto , já que a função tem uma definição diferente nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar observando a função para todos os pontos f(x, y) = x^3 + x^2 + x y^2 + y^2x^2 + y^2 :
Aqui, o denominador nunca é zero quando , então essa parte da função está bem definida e contínua em todos os pontos diferentes de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto, que é 2.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite:
f(x, y) = x^3 + x^2 + x y^2 + y^2x^2 + y^2 = x^3 + x^2x^2 + y^2 + x y^2 + y^2x^2 + y^2 = x + y^2(x + 1)x^2 + y^2
Quando se aproxima de , o termo tende a 0.

Passo 5

Para o segundo termo, observe que:
| y^2(x + 1)x^2 + y^2 | <= y^2(|x| + 1)x^2 + y^2 <= y^2(0 + 1)y^2 = 1
Mas, na verdade, como está se aproximando de , também tende a 0, então esse termo tende a 0.

Passo 6

Portanto, o limite de lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 + 0 = 0 quando lim(x, y) to (0,0) f(x, y) neq f(0,0) tende a é:
Comparando com o valor da função em , que é 2, vemos que:

Resposta

A função é contínua em todos os pontos e não é contínua no ponto .

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