Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar os pontos de continuidade da função . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Multivariável, especificamente o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar os pontos onde a função pode não ser contínua, especialmente no ponto , já que a função tem uma definição diferente nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar observando a função para todos os pontos :
Aqui, o denominador nunca é zero quando , então essa parte da função está bem definida e contínua em todos os pontos diferentes de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto, que é 2.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite:
Quando se aproxima de , o termo tende a 0.

Passo 5

Para o segundo termo, observe que:
Mas, na verdade, como está se aproximando de , também tende a 0, então esse termo tende a 0.

Passo 6

Portanto, o limite de quando tende a é:
Comparando com o valor da função em , que é 2, vemos que:

Resposta

A função é contínua em todos os pontos e não é contínua no ponto .

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