Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar os pontos de continuidade da função . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Multivariável, especificamente o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar os pontos onde a função pode não ser contínua, especialmente no ponto , já que a função tem uma definição diferente nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar observando a função para todos os pontos :
Aqui, o denominador nunca é zero quando , então essa parte da função está bem definida e contínua em todos os pontos diferentes de .
Passo 3
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto, que é 2.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite:
Quando se aproxima de , o termo tende a 0.
Passo 5
Para o segundo termo, observe que:
Mas, na verdade, como está se aproximando de , também tende a 0, então esse termo tende a 0.
Passo 6
Portanto, o limite de quando tende a é:
Comparando com o valor da função em , que é 2, vemos que:
Resposta
A função é contínua em todos os pontos e não é contínua no ponto .