Determine um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção.
(a) f(x, y) = raiz(x^2 + y^2) ; P(4, -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário na direção onde a função aumenta mais rápido no ponto . Além disso, vamos descobrir qual é a taxa de variação dessa função nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de gradiente e vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A função dada é:
As derivadas parciais são:

Passo 3

Com as derivadas parciais em mãos, podemos formar o vetor gradiente:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto :
Calculando o denominador:
Então:

Passo 4

Para achar o vetor unitário na direção do gradiente, já que o gradiente que a gente calculou já tem comprimento 1 (porque dividimos por 5, que é exatamente o comprimento de ), esse vetor gradiente já é o vetor unitário que a gente precisa:

Passo 5

Agora, para encontrar a taxa de variação de na direção desse vetor, a gente basicamente olha para o comprimento do gradiente. Como já vimos, o gradiente em é e o comprimento desse vetor é:
Então, a taxa de variação nessa direção é 1.

Resposta

O vetor unitário na direção onde aumenta mais rapidamente em é e a taxa de variação de nessa direção é 1.

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