Determine um vetor unitário na direção do qual
cresce mais rapidamente em
obtenha a taxa de variação de
em
nessa direção.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário na direção onde a função
aumenta mais rápido no ponto
. Além disso, vamos descobrir qual é a taxa de variação dessa função nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de gradiente e vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A função dada é:
As derivadas parciais são:
Passo 3
Com as derivadas parciais em mãos, podemos formar o vetor gradiente:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto
:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 4
Para achar o vetor unitário na direção do gradiente, já que o gradiente que a gente calculou já tem comprimento 1 (porque dividimos por 5, que é exatamente o comprimento de
), esse vetor gradiente já é o vetor unitário que a gente precisa:
Passo 5
Agora, para encontrar a taxa de variação de
na direção desse vetor, a gente basicamente olha para o comprimento do gradiente. Como já vimos, o gradiente em
é
e o comprimento desse vetor é:
Então, a taxa de variação nessa direção é 1.
Resposta
O vetor unitário na direção onde
aumenta mais rapidamente em
é
e a taxa de variação de
nessa direção é 1.