Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário na direção em que a função diminui mais rapidamente no ponto . Além disso, precisamos descobrir qual é a taxa de variação de nesse ponto nessa direção específica. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude nos dá a taxa máxima de aumento. As componentes do gradiente são as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Então, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Substituindo , e nas expressões acima:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Sabemos que a função diminui mais rapidamente na direção oposta ao gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, primeiro precisamos inverter o gradiente e depois normalizá-lo (ou seja, torná-lo de comprimento 1).
Primeiro, invertemos o gradiente:
Agora, calculamos a norma (comprimento) desse vetor:
Então, o vetor unitário na direção desejada é:
Passo 5
A taxa de variação de na direção escolhida é igual à magnitude do gradiente original. Já calculamos a norma do gradiente:
Então, a taxa de variação de em na direção em que ela diminui mais rapidamente é .
Resposta
O vetor unitário na direção em que diminui mais rapidamente em é: