Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , da equação dada:
Para isso, vamos usar **diferenciação implícita**, que é uma técnica usada quando está misturado com na equação e não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , então quando derivamos termos com , temos que aplicar a regra da cadeia.
Então, vamos diferenciar cada parte:
1. : A derivada será
2. : Aqui usamos a regra do produto. Derivando, temos
3. : A derivada é
4. A derivada de uma constante como 12 é 0.
Passo 3
Vamos escrever tudo isso na equação:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que têm e os que não têm:
Vamos isolar os termos com :
Passo 5
Para encontrar , basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando :
Podemos simplificar um pouco mais retirando o sinal negativo:
Mas geralmente é deixado assim para manter a clareza.
Resposta
A derivada de em relação a é:
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Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Seja . Mostre que, se $0 \leq a
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde é o tamanho da população de peixes depois de anos e e são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja . Use o item (b) para mostrar que, se , então ; em outras palavras, a população se extingue.
Determine .