Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , da equação dada: Para isso, vamos usar **diferenciação implícita**, que é uma técnica usada quando está misturado com na equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , então quando derivamos termos com , temos que aplicar a regra da cadeia. Então, vamos diferenciar cada parte: 1. : A derivada será 2. : Aqui usamos a regra do produto. Derivando, temos 3. : A derivada é 4. A derivada de uma constante como 12 é 0.

Passo 3

Vamos escrever tudo isso na equação: Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que têm e os que não têm: Vamos isolar os termos com :

Passo 5

Para encontrar , basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando : Podemos simplificar um pouco mais retirando o sinal negativo: Mas geralmente é deixado assim para manter a clareza.

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Seja . Mostre que, se $0 \leq a
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula onde é o tamanho da população de peixes depois de anos e e são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja . Use o item (b) para mostrar que, se , então ; em outras palavras, a população se extingue.
Determine .