O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde é o tamanho da população de peixes depois de anos e e são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja . Use o item (b) para mostrar que, se , então ; em outras palavras, a população se extingue.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o tamanho de uma população de peixes muda ao longo dos anos, usando uma fórmula recursiva. A matéria que vamos mexer aqui é recorrência e limites de sequências, que faz parte de cálculo e matemática aplicada. Para resolver isso, vamos precisar entender como sequências funcionam e como encontrarmos seus limites quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fórmula que descreve a população:
Aqui, é a população no ano , e e são constantes positivas que dependem da espécie de peixe e do habitat. Nosso objetivo é mostrar que, se , então a população vai para zero com o passar do tempo, ou seja:

Passo 3

Para entender o que acontece com quando aumenta bastante, vamos pensar no que acontece se a população se estabilizar, ou seja, chegar a um valor fixo. Se a população não muda mais, então . Vamos usar isso para encontrar possíveis valores fixos.
Colocando na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de que fazem a população não mudar mais. Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Factorando :

Passo 5

Da equação , temos duas soluções:
Como (segundo o enunciado) e seria negativo, o único valor fisicamente possível para a população é , já que população não pode ser negativa.

Passo 6

Sabendo que o único valor fixo possível é quando , vamos pensar no comportamento da população ao longo do tempo. Se , cada novo ano a população diminui porque o denominador domina o numerador , fazendo menor que .
Isso indica que a sequência está decrescendo e tendendo a zero.

Passo 7

Para confirmar isso matematicamente, observamos que:
  • para todo (população positiva).
  • A sequência é decrescente porque quando .
  • Uma sequência que é decrescente e limitada abaixo (por 0) sempre converge para algum limite.
Como o único limite possível é 0, concluímos que:

Resposta

Portanto, se , a população de peixes tende a zero à medida que os anos passam, ou seja, ela se extingue.

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Determine .
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Determine .
Determine .