O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde
é o tamanho da população de peixes depois de
anos e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja
. Use o item (b) para mostrar que, se
, então
; em outras palavras, a população se extingue.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o tamanho de uma população de peixes muda ao longo dos anos, usando uma fórmula recursiva. A matéria que vamos mexer aqui é recorrência e limites de sequências, que faz parte de cálculo e matemática aplicada. Para resolver isso, vamos precisar entender como sequências funcionam e como encontrarmos seus limites quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na fórmula que descreve a população:
Aqui,
é a população no ano
, e
e
são constantes positivas que dependem da espécie de peixe e do habitat. Nosso objetivo é mostrar que, se
, então a população vai para zero com o passar do tempo, ou seja:
Passo 3
Para entender o que acontece com
quando
aumenta bastante, vamos pensar no que acontece se a população se estabilizar, ou seja, chegar a um valor fixo. Se a população não muda mais, então
. Vamos usar isso para encontrar possíveis valores fixos.
Colocando
na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
que fazem a população não mudar mais. Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Factorando
:
Passo 5
Da equação
, temos duas soluções:
-
-
⟹
Como
(segundo o enunciado) e
seria negativo, o único valor fisicamente possível para a população é
, já que população não pode ser negativa.
Passo 6
Sabendo que o único valor fixo possível é
quando
, vamos pensar no comportamento da população ao longo do tempo. Se
, cada novo ano a população diminui porque o denominador
domina o numerador
, fazendo
menor que
.
Isso indica que a sequência
está decrescendo e tendendo a zero.
Passo 7
Para confirmar isso matematicamente, observamos que:
-
para todo (população positiva). - A sequência é decrescente porque
quando . - Uma sequência que é decrescente e limitada abaixo (por 0) sempre converge para algum limite.
Como o único limite possível é 0, concluímos que:
Resposta
Portanto, se
, a população de peixes tende a zero à medida que os anos passam, ou seja, ela se extingue.
Exercícios relacionados
Determine
.
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Determine
.
Determine
.