Determine .

Passo 1

Então, temos a equação . O que a gente precisa aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos termos que têm , precisamos usar a regra da cadeia porque é uma função de .

Passo 3

Derivando em relação a , fica:

Passo 4

Agora, derivando em relação a . Aqui usamos a regra do produto porque é um produto de e :
Explicando, derivamos que dá 1, multiplicado por , mais multiplicado pela derivada de , que é .

Passo 5

Derivando em relação a , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 6

Derivando o lado direito em relação a , como é constante:

Passo 7

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:

Passo 8

Vamos arrumar a equação para isolar . Primeiro, distribuímos o sinal:

Passo 9

Reunimos os termos que têm :

Passo 10

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :
Ou, rearranjando os sinais:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde é o tamanho da população de peixes depois de anos e e são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja . Use o item (b) para mostrar que, se , então ; em outras palavras, a população se extingue.
Determine .
Determine .
Determine e .