Determine
.
Passo 1
Então, temos a equação
. O que a gente precisa aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde
está misturado com
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que quando derivamos termos que têm
, precisamos usar a regra da cadeia porque
é uma função de
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, fica:
Passo 4
Agora, derivando
em relação a
. Aqui usamos a regra do produto porque é um produto de
e
:
Explicando, derivamos
que dá 1, multiplicado por
, mais
multiplicado pela derivada de
, que é
.
Passo 5
Derivando
em relação a
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Derivando o lado direito
em relação a
, como
é constante:
Passo 7
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:
Passo 8
Vamos arrumar a equação para isolar
. Primeiro, distribuímos o sinal:
Passo 9
Reunimos os termos que têm
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Ou, rearranjando os sinais:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde
é o tamanho da população de peixes depois de
anos e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja
. Use o item (b) para mostrar que, se
, então
; em outras palavras, a população se extingue.
Determine
.
Determine
.
Determine
e
.