Determine se é uma combinação linear de v1=[r1 -2 0], v2=[l0 1 2] e v3=[r5 -6 8].
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é descobrir se o vetor 2 -1 6 pode ser obtido combinando linearmente os vetores 1 -2 0 , 0 1 2 e 5 -6 8 . Ou seja, a gente quer ver se existe um jeito de multiplicar cada um desses vetores por algum número e depois somar tudo isso para chegar no vetor . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para encontrar esses números.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a combinação linear. Queremos encontrar números a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v , a cdot 1 -2 0 + b cdot 0 1 2 + c cdot 5 -6 8 = 2 -1 6 e tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Vamos multiplicar cada vetor pelos seus coeficientes:
a -2a 0 + 0 b 2b + 5c -6c 8c = 2 -1 6
Agora, somamos os vetores do lado esquerdo:
a + 0 + 5c -2a + b - 6c 0 + 2b + 8c = 2 -1 6
Passo 4
Agora, igualamos os componentes correspondentes de cada lado:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
a + 5c = 2 Rightarrow a = 2 - 5c
Agora, substituímos -2(2 - 5c) + b - 6c = -1 -4 + 10c + b - 6c = -1 b + 4c = 3 Rightarrow b = 3 - 4c na segunda equação:
2(3 - 4c) + 8c = 6 6 - 8c + 8c = 6 6 = 6
Agora, substituímos na terceira equação:
Isso significa que a terceira equação não nos dá uma nova informação, e qualquer valor de satisfará a equação.
Passo 6
Como a terceira equação é redundante, podemos escolher um valor para a = 2 - 5(0) = 2 b = 3 - 4(0) = 3 e encontrar e . Vamos escolher para simplificar:
Resposta
Sim, o vetor 2 -1 6 é uma combinação linear dos vetores , e , com , e .