Seja
o conjunto de todos os vetores da forma
. Mostre que
é um subespaço do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto
de vetores da forma
é um subespaço de
. Isso está no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Se escolhermos
, temos:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Seja
e
dois vetores em
. A soma é:
Se definirmos
, então:
Como
é um número real,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar. A multiplicação é:
Definindo
, temos:
Como
também é um número real,
pertence a
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as condições para ser um subespaço de
. Portanto,
é um subespaço de
.