Seja H o conjunto de todos os vetores da forma (2 t, 0-t). Mostre que H é um subespaço do R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto de vetores da forma é um subespaço de . Isso está no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em (2 cdot 0, 0, -0) = (0, 0, 0) . O vetor zero em é . Se escolhermos , temos:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se u + v = (2t1 + 2t2, 0 + 0, -t1 - t2) = (2(t1 + t2), 0, -(t1 + t2)) é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (2t, 0, -t) , a soma deles também deve estar em . Seja e dois vetores em . A soma é:
Se definirmos , então:
Como é um número real, também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se c cdot u = (c cdot 2t, c cdot 0, c cdot (-t)) = (2(ct), 0, -(ct)) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor qualquer em c cdot u = (2t', 0, -t') e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar. A multiplicação é:
Definindo , temos:
Como também é um número real, pertence a .

Resposta

Concluímos que satisfaz todas as condições para ser um subespaço de . Portanto, é um subespaço de .

Exercícios relacionados