Se X ⊆ R é limitado superiormente, mostre que Sup(X) = Sup(X_bar).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se é um conjunto de números reais ( ) que tem um limite superior, ou seja, existe um número que é maior ou igual a todos os elementos de . A gente precisa mostrar que o supremo de , que é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de , é igual ao supremo do fechamento de ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de supremum e fechamento de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fechamento de , representado por , inclui todos os pontos de mais os pontos de acumulação (ou limites) de . Ou seja, é basicamente junto com todos os pontos que “chegam perto” de .

Passo 3

Como está contido em (todos os elementos de também estão em ), o supremo de não pode ser maior que o supremo de . Matematicamente, isso significa:

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que o supremo de não é maior que o supremo de . Como inclui todos os pontos de e seus limites, nenhum desses pontos pode ser maior que o supremo de , já que é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Portanto:

Resposta

Assim, temos que:
Portanto, o supremo de é igual ao supremo do fechamento de .

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