Se
é limitado superiormente, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se
é um conjunto de números reais (
) que tem um limite superior, ou seja, existe um número que é maior ou igual a todos os elementos de
. A gente precisa mostrar que o supremo de
, que é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
, é igual ao supremo do fechamento de
(
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de supremum e fechamento de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fechamento de
, representado por
, inclui todos os pontos de
mais os pontos de acumulação (ou limites) de
. Ou seja,
é basicamente
junto com todos os pontos que “chegam perto” de
.
Passo 3
Como
está contido em
(todos os elementos de
também estão em
), o supremo de
não pode ser maior que o supremo de
. Matematicamente, isso significa:
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que o supremo de
não é maior que o supremo de
. Como
inclui todos os pontos de
e seus limites, nenhum desses pontos pode ser maior que o supremo de
, já que
é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
. Portanto:
Resposta
Assim, temos que:
Portanto, o supremo de
é igual ao supremo do fechamento de
.