Determine a aceleração tangencial at e a aceleração normal an como função do tempo, onde as componentes tangencial e normal são consideradas em relação à velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a aceleração tangencial e a aceleração normal em função do tempo. Isso está relacionado ao estudo de cinemática e dinâmica no movimento de partículas. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a aceleração em suas componentes tangencial e normal, considerando a velocidade da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração total a = at t + an n pode ser decomposta em duas partes:
  • Aceleração tangencial ( ): está na direção da velocidade e está relacionada à variação da rapidez.
  • Aceleração normal ( ): está perpendicular à velocidade e está relacionada à curvatura da trajetória.
Então, temos:
onde é o versor tangencial e é o versor normal.

Passo 3

A aceleração tangencial at = dvdt é dada pela derivada da rapidez em relação ao tempo:
Isso significa que para encontrar , precisamos saber como a velocidade está mudando com o tempo.

Passo 4

Já a aceleração normal an = v^2R está relacionada à velocidade e ao raio de curvatura da trajetória. Ela é calculada pela seguinte fórmula:
onde é o raio de curvatura. Se não tivermos o raio, podemos expressar em termos de derivadas da posição.

Passo 5

Se considerarmos a posição v(t) = drdt da partícula, a velocidade é a primeira derivada de posição:
a(t) = d^2rdt^2
E a aceleração é a segunda derivada:
Com a posição conhecida, podemos calcular e , e então decompor nas componentes tangencial e normal.

Passo 6

Vamos resumir os passos:
  1. Calcular a velocidade derivando a posição.
  2. Calcular a aceleração derivando a velocidade.
  3. Encontrar a aceleração tangencial como a derivada da rapidez.
  4. Encontrar a aceleração normal usando ou através das derivadas da posição.

Resposta

A aceleração tangencial e a aceleração normal em função do tempo são dadas por:
at(t) = dvdt
an(t) = v^2(t)R(t)
onde é a velocidade em função do tempo e é o raio de curvatura da trajetória nesse instante.

Exercícios relacionados

Uma partícula apresenta a seguinte relação entre a velocidade v e a posição x
v=-bx
Com base na relação acima calcule:
a) A relação da posição x em função do tempo t sabendo que quando t=0 s a posição inicial é de 2 m .
Seja uma partícula realizando um movimento bidimensional dado pelo seguinte vetor posição
r=2 t^2 imath-t jmath
Sendo t o tempo. Calcule:
a) O vetor velocidade v da partícula
Uma lâmpada de 60 W e 120 V e outra lâmpada de 200 W e 120 V são conectadas em série com uma fonte de 240 V . As resistências das lâmpadas não variam com a corrente. Calcule: (a) a resistência de cada lâmpada; (b) a corrente que passa nas lâmpadas; © a potência dissipada em cada lâmpada. (d) Uma das lâmpadas se queimará rapidamente. Qual delas? Por que? Nota: A descrição da lâmpada fornece a potência que ela dissipa quando é ligada à diferença de potencial especificada.
Faça um gráfico da posição x (dado em metros) em função do tempo t para o intervalo de valores de t entre 0 e 100 s