Determine a aceleração tangencial at e a aceleração normal an como função do tempo, onde as componentes tangencial e normal são consideradas em relação à velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a aceleração tangencial e a aceleração normal em função do tempo. Isso está relacionado ao estudo de cinemática e dinâmica no movimento de partículas. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a aceleração em suas componentes tangencial e normal, considerando a velocidade da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração total a = at t + an n pode ser decomposta em duas partes:
  • Aceleração tangencial ( ): está na direção da velocidade e está relacionada à variação da rapidez.
  • Aceleração normal ( ): está perpendicular à velocidade e está relacionada à curvatura da trajetória.
Então, temos:
onde é o versor tangencial e é o versor normal.

Passo 3

A aceleração tangencial at = dvdt é dada pela derivada da rapidez em relação ao tempo:
Isso significa que para encontrar , precisamos saber como a velocidade está mudando com o tempo.

Passo 4

Já a aceleração normal an = v^2R está relacionada à velocidade e ao raio de curvatura da trajetória. Ela é calculada pela seguinte fórmula:
onde é o raio de curvatura. Se não tivermos o raio, podemos expressar em termos de derivadas da posição.

Passo 5

Se considerarmos a posição v(t) = drdt da partícula, a velocidade é a primeira derivada de posição:
a(t) = d^2rdt^2
E a aceleração é a segunda derivada:
Com a posição conhecida, podemos calcular e , e então decompor nas componentes tangencial e normal.

Passo 6

Vamos resumir os passos:
  1. Calcular a velocidade derivando a posição.
  2. Calcular a aceleração derivando a velocidade.
  3. Encontrar a aceleração tangencial como a derivada da rapidez.
  4. Encontrar a aceleração normal usando ou através das derivadas da posição.

Resposta

A aceleração tangencial e a aceleração normal em função do tempo são dadas por:
at(t) = dvdt
an(t) = v^2(t)R(t)
onde é a velocidade em função do tempo e é o raio de curvatura da trajetória nesse instante.

Exercícios relacionados