Determine a aceleração tangencial
e a aceleração normal
como função do tempo, onde as componentes tangencial e normal são consideradas em relação à velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a aceleração tangencial
e a aceleração normal
em função do tempo. Isso está relacionado ao estudo de cinemática e dinâmica no movimento de partículas. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a aceleração em suas componentes tangencial e normal, considerando a velocidade da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração total
pode ser decomposta em duas partes:
- Aceleração tangencial (
): está na direção da velocidade e está relacionada à variação da rapidez. - Aceleração normal (
): está perpendicular à velocidade e está relacionada à curvatura da trajetória.
Então, temos:
onde
é o versor tangencial e
é o versor normal.
Passo 3
A aceleração tangencial
é dada pela derivada da rapidez
em relação ao tempo:
Isso significa que para encontrar
, precisamos saber como a velocidade está mudando com o tempo.
Passo 4
Já a aceleração normal
está relacionada à velocidade e ao raio de curvatura da trajetória. Ela é calculada pela seguinte fórmula:
onde
é o raio de curvatura. Se não tivermos o raio, podemos expressar
em termos de derivadas da posição.
Passo 5
Se considerarmos a posição
da partícula, a velocidade é a primeira derivada de posição:
E a aceleração é a segunda derivada:
Com a posição conhecida, podemos calcular
e
, e então decompor
nas componentes tangencial e normal.
Passo 6
Vamos resumir os passos:
- Calcular a velocidade
derivando a posição. - Calcular a aceleração
derivando a velocidade. - Encontrar a aceleração tangencial
como a derivada da rapidez. - Encontrar a aceleração normal
usando ou através das derivadas da posição.
Resposta
A aceleração tangencial e a aceleração normal em função do tempo são dadas por:
onde
é a velocidade em função do tempo e
é o raio de curvatura da trajetória nesse instante.
Exercícios relacionados
Uma partícula apresenta a seguinte relação entre a velocidade
e a posição
Com base na relação acima calcule:
a) A relação da posição em função do tempo
sabendo que quando
a posição inicial é de 2 m .
a) A relação da posição
Seja uma partícula realizando um movimento bidimensional dado pelo seguinte vetor posição
Sendo
o tempo. Calcule:
a) O vetor velocidade da partícula
a) O vetor velocidade
Uma lâmpada de 60 W e 120 V e outra lâmpada de 200 W e 120 V são conectadas em série com uma fonte de 240 V . As resistências das lâmpadas não variam com a corrente. Calcule: (a) a resistência de cada lâmpada; (b) a corrente que passa nas lâmpadas; © a potência dissipada em cada lâmpada. (d) Uma das lâmpadas se queimará rapidamente. Qual delas? Por que? Nota: A descrição da lâmpada fornece a potência que ela dissipa quando é ligada à diferença de potencial especificada.
Faça um gráfico da posição
(dado em metros) em função do tempo
para o intervalo de valores de t entre 0 e 100 s