Uma partícula apresenta a seguinte relação entre a velocidade
e a posição
Com base na relação acima calcule:
a) A relação da posição
em função do tempo
sabendo que quando
a posição inicial é de 2 m .
a) A relação da posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata de cinemática, especificamente da relação entre velocidade e posição de uma partícula. A gente precisa descobrir como a posição
da partícula varia com o tempo
, sabendo que quando
segundos, a posição inicial é de 2 metros. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação que a velocidade
tem com a posição
. A equação dada é:
Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
Então, podemos igualar as duas expressões:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis
e
. Isso facilita a solução, pois podemos integrar cada lado em relação à sua própria variável. Multiplicando ambos os lados por
e
, temos:
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Assim, temos:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão juntando as constantes de integração. Vamos chamar
, então:
Multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante
. Sabemos que quando
,
metros. Substituindo esses valores na equação:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação:
Para encontrar
em função de
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é