Uma partícula apresenta a seguinte relação entre a velocidade v e a posição x
v=-bx
Com base na relação acima calcule:
a) A relação da posição x em função do tempo t sabendo que quando t=0 s a posição inicial é de 2 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata de cinemática, especificamente da relação entre velocidade e posição de uma partícula. A gente precisa descobrir como a posição da partícula varia com o tempo , sabendo que quando segundos, a posição inicial é de 2 metros. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação que a velocidade v = -bx tem com a posição v = dxdt . A equação dada é:
dxdt = -bx
Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
Então, podemos igualar as duas expressões:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis x , dx = -b , dt e . Isso facilita a solução, pois podemos integrar cada lado em relação à sua própria variável. Multiplicando ambos os lados por e , temos:

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de integral x , dx = 12x^2 + C1 em relação a integral -b , dt = -b t + C2 é:
12x^2 + C1 = -b t + C2
E a integral de em relação a é:
Assim, temos:

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão juntando as constantes de integração. Vamos chamar 12x^2 = -b t + C , então:
x^2 = -2b t + 2C
Multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante 2^2 = -2b cdot 0 + 2C 4 = 0 + 2C C = 2 . Sabemos que quando , metros. Substituindo esses valores na equação:

Passo 7

Com o valor de x^2 = -2b t + 4 encontrado, substituímos de volta na equação:
x(t) = raiz4 - 2b t
Para encontrar em função de , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é
x(t) = raiz4 - 2b, t

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