Verificar se as seguintes integrais convergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a integral
converge. Isso está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, onde o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de integração de funções exponenciais e trigonométricas, além de saber como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Essa função é o produto de uma função trigonométrica (
) e uma função exponencial decrescente (
). Geralmente, quando temos esse tipo de produto, podemos usar a integração por partes ou reconhecer que se trata de uma integral conhecida.
Passo 3
Vamos lembrar que existe uma fórmula padrão para a integral de
de 0 a
:
Desde que
, garantindo a convergência da integral.
Passo 4
No nosso caso, temos
e
(porque
e
tem
). Vamos aplicar a fórmula:
Passo 5
Observar que o resultado é um número finito (
), isso significa que a integral converge.
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.