Verificar se as seguintes integrais convergem: integral0^infty cos (t) e^-t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a integral converge. Isso está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, onde o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de integração de funções exponenciais e trigonométricas, além de saber como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Essa função é o produto de uma função trigonométrica ( ) e uma função exponencial decrescente ( ). Geralmente, quando temos esse tipo de produto, podemos usar a integração por partes ou reconhecer que se trata de uma integral conhecida.

Passo 3

Vamos lembrar que existe uma fórmula padrão para a integral de integral0^infty e^at cos(bt) , dt = aa^2 + b^2 de 0 a :
Desde que , garantindo a convergência da integral.

Passo 4

No nosso caso, temos integral0^infty e^-t cos(t) , dt = -1(-1)^2 + 1^2 = -11 + 1 = -12 e (porque e tem ). Vamos aplicar a fórmula:

Passo 5

Observar que o resultado é um número finito ( ), isso significa que a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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