Verificar se as seguintes integrais convergem: integral0^infty e^-x sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos ver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral definida de até o infinito da função em relação a . O objetivo é descobrir se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre o comportamento de funções exponenciais e trigonométricas no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral convergir. Quando integramos uma função de até infinito, estamos somando infinitas pequenas áreas sob a curva dessa função. Se essa soma resulta em um número finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Agora, olhemos para a função . Aqui temos duas partes: , que é uma função exponencial decrescente, e , que é uma função oscilante que varia entre e . A combinação dessas duas funções vai determinar o comportamento da integral.

Passo 4

Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Convergência Absoluta. Isso significa que vamos verificar se a integral do valor absoluto da função converge:
integral0^infty |e^-x sin x| , dx
Como |e^-x sin x| <= e^-x , temos:
Então, se a integral de de até infinito converge, nossa integral original também irá convergir.

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral0^infty e^-x , dx = [ -e^-x ]0^infty = 0 - (-1) = 1 :
Como essa integral é igual a , que é finito, podemos concluir que a integral original também converge.

Passo 6

Além de saber que a integral converge, podemos calcular o valor exato dela. Usando a fórmula de integração para funções exponenciais e senos:
integral0^infty e^-x sin x , dx = 11^2 + 1^2 = 12

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados