Verificar se as seguintes integrais convergem:
Passo 1
Beleza, vamos ver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral definida de
até o infinito da função
em relação a
. O objetivo é descobrir se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre o comportamento de funções exponenciais e trigonométricas no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral convergir. Quando integramos uma função de
até infinito, estamos somando infinitas pequenas áreas sob a curva dessa função. Se essa soma resulta em um número finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Agora, olhemos para a função
. Aqui temos duas partes:
, que é uma função exponencial decrescente, e
, que é uma função oscilante que varia entre
e
. A combinação dessas duas funções vai determinar o comportamento da integral.
Passo 4
Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Convergência Absoluta. Isso significa que vamos verificar se a integral do valor absoluto da função converge:
Como
, temos:
Então, se a integral de
de
até infinito converge, nossa integral original também irá convergir.
Passo 5
Vamos calcular a integral de
:
Como essa integral é igual a
, que é finito, podemos concluir que a integral original também converge.
Passo 6
Além de saber que a integral converge, podemos calcular o valor exato dela. Usando a fórmula de integração para funções exponenciais e senos:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.