Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas.
sumn=1^infty 3^n n^2n!

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries envolvendo fatoriais e exponenciais. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite , onde é o termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = 3^n n^2n! na nossa série:
an+1 = 3^n+1 (n+1)^2(n+1)!
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = 3^n+1 (n+1)^2 / (n+1)!3^n n^2 / n!:
an+1an = 3 cdot (n+1)^2n^2 cdot n!(n+1)!
Simplificando os termos:
an+1an = 3 cdot (n+1)^2n^2 cdot 1n+1 = 3 cdot n+1n^2
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty 3 cdot n+1n^2 = 3 cdot limn to infty nn^2 + 1n^2 = 3 cdot limn to infty ( 1n + 1n^2 ) = 3 cdot 0 = 0 tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite encontrado é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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