Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se e divergir, então diverge.

Passo 1

Então, galera, a gente tem uma afirmação para analisar: Se e a série diverge, então a série também diverge. Vamos usar conceitos de séries e testes de comparação para descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a afirmação. Temos duas séries: uma com termos e outra com termos . Sabemos que cada termo é menor ou igual a e que a série com não tem soma finita (diverge).

Passo 3

A gente pode usar o Teste da Comparação para séries. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. No caso, estamos comparando com .

Passo 4

No Teste da Comparação, se diverge e para algum e todo grande, então também diverge. Mas atenção: o teste funciona direitinho quando é maior ou igual a uma certa fração de .

Passo 5

No nosso caso, temos que . Isso é diferente do que o teste requer para garantir a divergência de . Ou seja, só porque é menor ou igual a não significa automaticamente que vai divergir se diverge.

Passo 6

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta encontrar um contraexemplo. Vamos escolher:
  • (a série harmônica, que é conhecida por divergir)
  • (a série p com , que converge)
Aqui, para todo , diverge, mas converge. Isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se (que diverge) e (que converge), temos , mas não diverge. Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral.

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. O Teste da razão pode ser usado para determinar se converge.
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! ;
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. O Teste da razão pode ser usado para determinar se converge.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.