Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
e
divergir, então
diverge.
Passo 1
Então, galera, a gente tem uma afirmação para analisar: Se
e a série
diverge, então a série
também diverge. Vamos usar conceitos de séries e testes de comparação para descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a afirmação. Temos duas séries: uma com termos
e outra com termos
. Sabemos que cada termo
é menor ou igual a
e que a série com
não tem soma finita (diverge).
Passo 3
A gente pode usar o Teste da Comparação para séries. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. No caso, estamos comparando
com
.
Passo 4
No Teste da Comparação, se
diverge e
para algum
e todo
grande, então
também diverge. Mas atenção: o teste funciona direitinho quando
é maior ou igual a uma certa fração de
.
Passo 5
No nosso caso, temos que
. Isso é diferente do que o teste requer para garantir a divergência de
. Ou seja, só porque
é menor ou igual a
não significa automaticamente que
vai divergir se
diverge.
Passo 6
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta encontrar um contraexemplo. Vamos escolher:
-
(a série harmônica, que é conhecida por divergir) -
(a série p com , que converge)
Aqui,
para todo
,
diverge, mas
converge. Isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, se
(que diverge) e
(que converge), temos
, mas
não diverge. Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. O Teste da razão pode ser usado para determinar se
converge.
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. O Teste da razão pode ser usado para determinar se
converge.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.