Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente decidir se a afirmação
é verdadeira ou falsa. A matéria que vamos usar aqui é de matemática básica, envolvendo números decimais infinitos e limites. Para resolver, vamos precisar entender como funciona uma dízima periódica e como ela se relaciona com números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse número é uma dízima periódica, ou seja, ele tem uma sequência infinita de 9s depois da vírgula. Em termos de matemática, podemos escrever isso como uma série infinita:
Passo 3
Agora, vamos descobrir o valor dessa soma infinita. Isso pode ser feito usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita. A fórmula é:
onde
No nosso caso,
e
(porque cada termo é 1/10 do anterior).
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Resposta
Então, a afirmação
é verdadeira porque a soma da dízima periódica realmente resulta em 1.
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Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! Se
, então
;
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
é divergente, então
é divergente.
Determine se a série é convergente ou divergente.
Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.