Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa. A matéria que vamos usar aqui é de matemática básica, envolvendo números decimais infinitos e limites. Para resolver, vamos precisar entender como funciona uma dízima periódica e como ela se relaciona com números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse número é uma dízima periódica, ou seja, ele tem uma sequência infinita de 9s depois da vírgula. Em termos de matemática, podemos escrever isso como uma série infinita:

Passo 3

Agora, vamos descobrir o valor dessa soma infinita. Isso pode ser feito usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita. A fórmula é:

onde é o primeiro termo da sequência e é a razão comum entre os termos consecutivos.
No nosso caso, e (porque cada termo é 1/10 do anterior).

Passo 4

Aplicando a fórmula:

Resposta

Então, a afirmação é verdadeira porque a soma da dízima periódica realmente resulta em 1.

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Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! Se , então ;
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se é divergente, então é divergente.
Determine se a série é convergente ou divergente.
Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.