Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty cos (3 n)1+(1,2)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar testes de convergência para resolver. Vamos separar isso em passos para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos no numerador e no denominador. A função cosseno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Já o denominador, , cresce exponencialmente porque .

Passo 3

Como a função cosseno está sempre limitada entre -1 e 1, podemos dizer que para todo . Isso nos ajuda a simplificar a análise da série, focando apenas no denominador para entender o comportamento geral dos termos.

Passo 4

Vamos comparar nossa série com uma série mais simples. Se lembrarmos da série geométrica , sabemos que ela converge porque a razão é menor que 1. A série geométrica é uma boa candidata para comparar porque tem uma estrutura semelhante ao denominador da nossa série original.

Passo 5

Agora, usamos o Teste de Comparação. Como | cos(3n)1 + (1,2)^n | <= 11,2^n , temos:
Já sabemos que converge. Portanto, pela comparação, nossa série original também converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente.

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