Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar testes de convergência para resolver. Vamos separar isso em passos para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos no numerador e no denominador. A função cosseno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Já o denominador, , cresce exponencialmente porque .
Passo 3
Como a função cosseno está sempre limitada entre -1 e 1, podemos dizer que para todo . Isso nos ajuda a simplificar a análise da série, focando apenas no denominador para entender o comportamento geral dos termos.
Passo 4
Vamos comparar nossa série com uma série mais simples. Se lembrarmos da série geométrica, sabemos que ela converge porque a razão é menor que 1. A série geométrica é uma boa candidata para comparar porque tem uma estrutura semelhante ao denominador da nossa série original.
Passo 5
Agora, usamos o Teste de Comparação. Como , temos:
Já sabemos que converge. Portanto, pela comparação, nossa série original também converge absolutamente.