Encontre os valores de c e k que fazem com que a função f dada abaixo seja contínua em R :
f(x) = { x, se x <= 1; c x + k, se 1 < x < 4; -2 x, se x >= 4 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e para que a função seja contínua em todos os números reais ( ). A função está dividida em três partes:
Para garantir que a função seja contínua, precisamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e . Vamos usar o conceito de limites laterais para cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
A função para é . Então:
Para , a função é . Então:
Para continuidade em :
çã

Passo 3

Agora, vamos analisar a continuidade em . Novamente, o limite da função quando se aproxima de 4 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 4 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Para , a função é . Então:
Para , a função é . Então:
Para continuidade em :
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar :
Agora que temos o valor de , substituímos na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em são e .

Exercícios relacionados