Discuta a continuidade das funções abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa função:
. O que a gente precisa fazer aqui é discutir se essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua, descobrir onde essa função está bem definida (o domínio) e ver se não tem nenhum ponto estranho onde a função possa “quebrar”.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Além disso, o denominador
não pode ser igual a zero, porque divisão por zero não dá certo. Então, precisamos resolver essa desigualdade.
Passo 3
Vamos resolver
. Para isso, encontramos os pontos onde o numerador e o denominador são zero:
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva:
- Para
: Por exemplo, - Para
: Por exemplo, - Para
: Por exemplo,
Então, a expressão
é maior ou igual a zero somente quando
.
Passo 4
Agora que sabemos que o domínio da função é
, vamos falar sobre a continuidade. Dentro desse intervalo, a função está bem definida: a raiz quadrada está tirando um número não negativo e o denominador nunca chega a zero (já que
não alcança 4). Além disso, as funções envolvidas (raiz quadrada e quociente de polinômios) são contínuas onde estão definidas.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
no intervalo
.