Discuta a continuidade das funções abaixo:
f(x) = raiz((x - 3) / (4 - x)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa função: . O que a gente precisa fazer aqui é discutir se essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua, descobrir onde essa função está bem definida (o domínio) e ver se não tem nenhum ponto estranho onde a função possa “quebrar”.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Além disso, o denominador não pode ser igual a zero, porque divisão por zero não dá certo. Então, precisamos resolver essa desigualdade.

Passo 3

Vamos resolver . Para isso, encontramos os pontos onde o numerador e o denominador são zero:
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva:
  1. Para : Por exemplo,
  2. Para : Por exemplo,
  3. Para : Por exemplo,
Então, a expressão é maior ou igual a zero somente quando .

Passo 4

Agora que sabemos que o domínio da função é , vamos falar sobre a continuidade. Dentro desse intervalo, a função está bem definida: a raiz quadrada está tirando um número não negativo e o denominador nunca chega a zero (já que não alcança 4). Além disso, as funções envolvidas (raiz quadrada e quociente de polinômios) são contínuas onde estão definidas.

Resposta

A função é contínua para todos os valores de no intervalo .

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