Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
d) Se
, então
.
d) Se
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que precisamos fazer. A questão nos dá a função
e pede para determinar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com derivadas de funções polinomiais, então vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e polinômios para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar analisando a função
. Primeiro, precisamos descobrir o grau desse polinômio, ou seja, qual é o maior expoente de
que aparece quando expandimos a expressão.
Passo 3
Para encontrar o grau de
, consideramos a parte de maior grau dentro do parêntese, que é
. Quando elevamos
à quinta potência, temos:
Então, o termo de maior grau em
é
, o que significa que
é um polinômio de grau 30.
Passo 4
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das derivadas de polinômios: se você tem um polinômio de grau
, sua
-ésima derivada será zero se
. Isso porque, a cada derivação, o grau do polinômio diminui em 1 até chegar a uma constante, cuja derivada é zero.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, como
é um polinômio de grau 30, sua 31ª derivada
será zero, já que 31 é maior que 30.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Como
é um polinômio de grau 30, sua 31ª derivada
é igual a zero.