Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
d) Se f(x) = (x^6 - x^4)^5, então f^(31)(x) = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que precisamos fazer. A questão nos dá a função e pede para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com derivadas de funções polinomiais, então vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e polinômios para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar analisando a função . Primeiro, precisamos descobrir o grau desse polinômio, ou seja, qual é o maior expoente de que aparece quando expandimos a expressão.

Passo 3

Para encontrar o grau de , consideramos a parte de maior grau dentro do parêntese, que é . Quando elevamos à quinta potência, temos:
Então, o termo de maior grau em é , o que significa que é um polinômio de grau 30.

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das derivadas de polinômios: se você tem um polinômio de grau , sua -ésima derivada será zero se . Isso porque, a cada derivação, o grau do polinômio diminui em 1 até chegar a uma constante, cuja derivada é zero.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, como é um polinômio de grau 30, sua 31ª derivada será zero, já que 31 é maior que 30.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Como é um polinômio de grau 30, sua 31ª derivada é igual a zero.

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