Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f e g forem contínuas em [a, b], então
integrala^b[f(x)+g(x)] d x=integrala^b f(x) d x+integrala^b g(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções, e , que são contínuas no intervalo . A questão quer saber se a integral da soma dessas duas funções no intervalo é igual à soma das integrais de cada uma delas individualmente. Basicamente, vamos usar o conceito de propriedades das integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a integral de uma função. A integral definida, como , representa a área sob a curva da função entre os pontos e . Agora, existe uma propriedade importante que diz que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais dessas funções, desde que todas sejam contínuas no intervalo considerado. Essa propriedade é chamada de linearidade da integral.

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade no nosso caso. Temos:
integrala^b [f(x) + g(x)] , dx
Segundo a propriedade de linearidade, isso é igual a:
integrala^b f(x) , dx + integrala^b g(x) , dx
Ou seja, a integral da soma é a soma das integrais.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Quando e são contínuas em , a integral da soma de fato é igual à soma das integrais individuais de e no intervalo .

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