Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
e
forem contínuas em
, então
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções,
e
, que são contínuas no intervalo
. A questão quer saber se a integral da soma dessas duas funções no intervalo é igual à soma das integrais de cada uma delas individualmente. Basicamente, vamos usar o conceito de propriedades das integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a integral de uma função. A integral definida, como
, representa a área sob a curva da função
entre os pontos
e
. Agora, existe uma propriedade importante que diz que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais dessas funções, desde que todas sejam contínuas no intervalo considerado. Essa propriedade é chamada de linearidade da integral.
Passo 3
Vamos aplicar essa propriedade no nosso caso. Temos:
Segundo a propriedade de linearidade, isso é igual a:
Ou seja, a integral da soma é a soma das integrais.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Quando
e
são contínuas em
, a integral da soma
de fato é igual à soma das integrais individuais de
e
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Use uma integral para estimar a soma
.
Se
, encontre
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e
forem contínuas em
, então
Se
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se for contínua em
, então
Se