Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f for contínua em [a, b], então
integrala^b x f(x) d x=x integrala^b f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se integrala^b x f(x) , dx = x integrala^b f(x) , dx for contínua em , então
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a propriedade de integrais envolvendo funções contínuas. Vamos precisar lembrar como funcionam as propriedades das integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a afirmação. Ela sugere que a integral de de a é igual a vezes a integral de de a . Mas pera aí: o do lado direito da equação é uma variável, então não faz muito sentido multiplicar uma constante por uma variável dentro da integral. Precisamos verificar isso matematicamente.

Passo 3

Vamos calcular a integral do lado esquerdo:
integrala^b x f(x) , dx
Isso é uma integral de um produto de duas funções, e . Não temos uma propriedade direta que simplifique isso para vezes a integral de .

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado direito:
x integrala^b f(x) , dx
Aqui, está sendo multiplicado pela integral de de a . Mas é uma variável que varia de a , então esse produto não faz sentido matematicamente, pois estamos multiplicando uma constante (a integral) por uma variável que está dentro do intervalo de integração.

Passo 5

Para deixar isso claro, vamos usar um exemplo. Suponha que integrala^b x cdot 1 , dx = integrala^b x , dx = b^2 - a^22 , que é uma função contínua. Então temos:
Lado esquerdo:
x integrala^b 1 , dx = x (b - a)
Lado direito:
Isso não é igual a a menos que seja constante, o que não é o caso.

Resposta

A afirmação é falsa. Como mostramos no exemplo, a integral de não é igual a vezes a integral de . A presença da variável dentro da integral impede que a igualdade seja válida, a menos que seja constante, o que não ocorre em geral.

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