Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
for contínua em
, então
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se
for contínua em
, então
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a propriedade de integrais envolvendo funções contínuas. Vamos precisar lembrar como funcionam as propriedades das integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a afirmação. Ela sugere que a integral de
de
a
é igual a
vezes a integral de
de
a
. Mas pera aí: o
do lado direito da equação é uma variável, então não faz muito sentido multiplicar uma constante por uma variável dentro da integral. Precisamos verificar isso matematicamente.
Passo 3
Vamos calcular a integral do lado esquerdo:
Isso é uma integral de um produto de duas funções,
e
. Não temos uma propriedade direta que simplifique isso para
vezes a integral de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o lado direito:
Aqui,
está sendo multiplicado pela integral de
de
a
. Mas
é uma variável que varia de
a
, então esse produto não faz sentido matematicamente, pois estamos multiplicando uma constante (a integral) por uma variável que está dentro do intervalo de integração.
Passo 5
Para deixar isso claro, vamos usar um exemplo. Suponha que
, que é uma função contínua. Então temos:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Isso não é igual a
a menos que
seja constante, o que não é o caso.
Resposta
A afirmação é falsa. Como mostramos no exemplo, a integral de
não é igual a
vezes a integral de
. A presença da variável
dentro da integral impede que a igualdade seja válida, a menos que
seja constante, o que não ocorre em geral.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e
forem contínuas em
, então
Se
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Se e
forem contínuas em
, então
Se
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.