Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f e g forem contínuas em [a, b], então
integrala^b[f(x) g(x)] d x=(integrala^b f(x) d x)(integrala^b g(x) d x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa afirmação envolvendo integrais é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é Cálculo Integral, especificamente propriedades de integrais de funções contínuas. Para resolver, vamos precisar entender como as integrais funcionam e se a integral do produto de duas funções é igual ao produto das integrais dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade básica das integrais: a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais, ou seja,
integrala^b [f(x) + g(x)] ,dx = integrala^b f(x) ,dx + integrala^b g(x) ,dx
Mas será que isso vale para o produto das funções? A afirmação do exercício sugere que sim, mas precisamos verificar.

Passo 3

Vamos analisar a afirmação:
integrala^b [f(x) g(x)] ,dx = (integrala^b f(x) ,dx) (integrala^b g(x) ,dx)
Para ver se isso é sempre verdadeiro, podemos testar com funções específicas. Se a igualdade se mantiver para todos os casos, então é verdadeira. Caso contrário, é falsa.

Passo 4

Vamos escolher um intervalo simples, por exemplo, 13 neq 14 , e funções e .
Calculemos cada parte:
Comparando:
Então, a igualdade não se mantém nesse caso.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, com no intervalo , temos que é diferente de .

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