Use uma integral para estimar a soma .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer estimar a soma usando uma integral. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o uso de integrais para aproximar somas. Para isso, vamos precisar saber como transformar a soma em uma integral e calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que somas de termos que seguem uma função contínua, como , podem ser aproximadas por integrais dessa função. A ideia é que, para valores grandes de , a soma se comporta de forma semelhante à área sob a curva da função.
Então, nossa soma pode ser aproximada pela integral de de até . Matemáticamente, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de é fácil de resolver. Sabemos que:
Onde é a constante de integração. Como vamos calcular uma integral definida, a constante não é necessária.

Passo 4

Aplicando os limites da integral, de até , temos:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro, calculemos . Sabemos que:
  1. E .
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Finalmente, dividindo por :

Resposta

A estimativa da soma usando uma integral é aproximadamente 666.666.

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Se , encontre .
Se , em que , encontre .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e forem contínuas em , então
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
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