Use uma integral para estimar a soma sumi=1^10000 raizi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer estimar a soma sumi=1^10000 raizi usando uma integral. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o uso de integrais para aproximar somas. Para isso, vamos precisar saber como transformar a soma em uma integral e calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que somas de termos que seguem uma função contínua, como raizi, podem ser aproximadas por integrais dessa função. A ideia é que, para valores grandes de i, a soma se comporta de forma semelhante à área sob a curva da função.
Então, nossa soma sumi=1^10000 raizi pode ser aproximada pela integral de raizx de x = 1 até x = 10000. Matemáticamente, isso fica:
sumi=1^10000 raizi approx integral1^10000 raizx , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de raizx é fácil de resolver. Sabemos que:
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2 + C
Onde C é a constante de integração. Como vamos calcular uma integral definida, a constante C não é necessária.

Passo 4

Aplicando os limites da integral, de 1 até 10000, temos:
integral1^10000 raizx , dx = [ 23 x^3/2 ]1^10000 = 23 times (10000)^3/2 - 23 times (1)^3/2

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro, calculemos (10000)^3/2. Sabemos que:
(10000)^3/2 = (10000)^1 times (10000)^1/2 = 10000 times 100 = 1000000
  1. E (1)^3/2 = 1.
Substituindo de volta na expressão:
23 times 1000000 - 23 times 1 = 20000003 - 23 = 19999983

Passo 6

Finalmente, dividindo 1999998 por 3:
19999983 = 666666

Resposta

A estimativa da soma sumi=1^10000 raizi usando uma integral é aproximadamente 666.666.

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