Use uma integral para estimar a soma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer estimar a soma
usando uma integral. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o uso de integrais para aproximar somas. Para isso, vamos precisar saber como transformar a soma em uma integral e calcular essa integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que somas de termos que seguem uma função contínua, como
, podem ser aproximadas por integrais dessa função. A ideia é que, para valores grandes de
, a soma se comporta de forma semelhante à área sob a curva da função.
Então, nossa soma
pode ser aproximada pela integral de
de
até
. Matemáticamente, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
é fácil de resolver. Sabemos que:
Onde
é a constante de integração. Como vamos calcular uma integral definida, a constante
não é necessária.
Passo 4
Aplicando os limites da integral, de
até
, temos:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
- Primeiro, calculemos
. Sabemos que:
- E
.
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Finalmente, dividindo
por
:
Resposta
A estimativa da soma
usando uma integral é aproximadamente 666.666.
Exercícios relacionados
Se
, encontre
.
Se
, em que
, encontre
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e
forem contínuas em
, então
Se
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e
forem contínuas em
, então
Se