Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
for contínua em
, então
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação “
” é verdadeira ou falsa, dado que a função
é contínua no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o Teorema Fundamental do Cálculo conecta derivadas e integrais. Ele diz que se uma função
é contínua em um intervalo e diferenciável no interior desse intervalo, então a integral da sua derivada
de
a
é igual a
.
Passo 3
No enunciado, temos que
é contínua em
. Mas para aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, além da continuidade, precisamos que
seja diferenciável nesse intervalo. A continuidade por si só não garante que a derivada
exista em todos os pontos de
.
Passo 4
Portanto, se
é apenas contínua e não necessariamente diferenciável em
, a integral
pode não estar bem definida ou pode não ser igual a
. Ou seja, a afirmação só é verdadeira se
for diferenciável, não apenas contínua.
Resposta
A afirmação é falsa. Uma função pode ser contínua em
sem ser diferenciável em todo o intervalo, o que faz com que
não seja necessariamente igual a
. Por exemplo, a função
é contínua em
mas não é diferenciável em
, então a igualdade não se mantém.
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for contínua em
e
, então
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Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.