Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se for contínua em , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação “ ” é verdadeira ou falsa, dado que a função é contínua no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o Teorema Fundamental do Cálculo conecta derivadas e integrais. Ele diz que se uma função é contínua em um intervalo e diferenciável no interior desse intervalo, então a integral da sua derivada de a é igual a .

Passo 3

No enunciado, temos que é contínua em . Mas para aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, além da continuidade, precisamos que seja diferenciável nesse intervalo. A continuidade por si só não garante que a derivada exista em todos os pontos de .

Passo 4

Portanto, se é apenas contínua e não necessariamente diferenciável em , a integral pode não estar bem definida ou pode não ser igual a . Ou seja, a afirmação só é verdadeira se for diferenciável, não apenas contínua.

Resposta

A afirmação é falsa. Uma função pode ser contínua em sem ser diferenciável em todo o intervalo, o que faz com que não seja necessariamente igual a . Por exemplo, a função é contínua em mas não é diferenciável em , então a igualdade não se mantém.

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for contínua em e , então
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áé
Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .