Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f for contínua em [1,3], então
integral1^3 f^prime(v) d v=f(3)-f(1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação “ integral1^3 f^prime(v) , dv = f(3) - f(1)” é verdadeira ou falsa, dado que a função f é contínua no intervalo [1,3]. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o Teorema Fundamental do Cálculo conecta derivadas e integrais. Ele diz que se uma função f é contínua em um intervalo e diferenciável no interior desse intervalo, então a integral da sua derivada f' de a a b é igual a f(b) - f(a).

Passo 3

No enunciado, temos que f é contínua em [1,3]. Mas para aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, além da continuidade, precisamos que f seja diferenciável nesse intervalo. A continuidade por si só não garante que a derivada f' exista em todos os pontos de [1,3].

Passo 4

Portanto, se f é apenas contínua e não necessariamente diferenciável em [1,3], a integral integral1^3 f^prime(v) , dv pode não estar bem definida ou pode não ser igual a f(3) - f(1). Ou seja, a afirmação só é verdadeira se f for diferenciável, não apenas contínua.

Resposta

A afirmação é falsa. Uma função pode ser contínua em [1,3] sem ser diferenciável em todo o intervalo, o que faz com que integral1^3 f^prime(v) , dv não seja necessariamente igual a f(3) - f(1). Por exemplo, a função f(x) = |x - 2| é contínua em [1,3] mas não é diferenciável em x=2, então a igualdade não se mantém.

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