Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral0^2(x-x^3) d x representa a área sob a curva y=x-x^3 de 0 até 2 áé

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma afirmação dizendo que a integral de a de dx representa a área sob a curva de até . Vamos usar o conceito de integrais para verificar se isso é verdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função entre dois limites representa a área líquida entre a curva da função e o eixo nesse intervalo. Isso significa que se a função está acima do eixo , a área é positiva, e se está abaixo, a área é negativa.

Passo 3

Vamos analisar a função de a . Precisamos verificar se a função está sempre acima do eixo nesse intervalo ou se cruza o eixo, o que afetaria a representação da área pela integral.

Passo 4

Para isso, vamos resolver x - x^3 = 0 x(1 - x^2) = 0 x = 0 ou x = pm1 :
No intervalo de a , a função cruza o eixo em . Isso significa que de a , é positivo, e de a , é negativo.

Passo 5

A integral de de a calculará a área líquida, ou seja, a área acima do eixo menos a área abaixo. Portanto, não representa a área total entre a curva e o eixo , que seria a soma das áreas positivas e negativas, independentemente do sinal.

Resposta

A afirmação é falsa. A integral de a de dx representa a área líquida sob a curva de até , considerando as áreas positivas e negativas. Para obter a área total, precisaríamos somar os valores absolutos dessas áreas.

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