Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se 0 < a < b, então ln a < ln b.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A afirmação é: "Se , então ". Estamos trabalhando com funções logarítmicas, especificamente o logaritmo natural ( ). Para resolver isso, precisamos saber como o logaritmo se comporta em relação aos números positivos e às desigualdades.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o logaritmo natural. O logaritmo natural de um número , representado por , é o expoente pelo qual a base (aproximadamente 2,718) precisa ser levantada para resultar em . Por exemplo, porque .

Passo 3

Agora, precisamos entender como a função se comporta quando comparamos dois números positivos e onde . A chave aqui é saber se a função é crescente ou decrescente. Uma função é crescente se, ao aumentar o valor de , o valor da função também aumenta.

Passo 4

Vamos verificar se é uma função crescente. Para isso, podemos olhar sua derivada. A derivada de em relação a é . Como , é sempre positivo. Isso significa que a função está sempre aumentando conforme aumenta.

Passo 5

Com isso em mente, se temos que , e sabemos que é crescente, então ao aumentar de para , o valor de também aumenta. Portanto, .

Resposta

A afirmação é verdadeira porque o logaritmo natural é uma função crescente, ou seja, se , então .

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