Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
, então
.
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A afirmação é: "Se
, então
". Estamos trabalhando com funções logarítmicas, especificamente o logaritmo natural (
). Para resolver isso, precisamos saber como o logaritmo se comporta em relação aos números positivos e às desigualdades.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é o logaritmo natural. O logaritmo natural de um número
, representado por
, é o expoente pelo qual a base
(aproximadamente 2,718) precisa ser levantada para resultar em
. Por exemplo,
porque
.
Passo 3
Agora, precisamos entender como a função
se comporta quando comparamos dois números positivos
e
onde
. A chave aqui é saber se a função
é crescente ou decrescente. Uma função é crescente se, ao aumentar o valor de
, o valor da função também aumenta.
Passo 4
Vamos verificar se
é uma função crescente. Para isso, podemos olhar sua derivada. A derivada de
em relação a
é
. Como
,
é sempre positivo. Isso significa que a função
está sempre aumentando conforme
aumenta.
Passo 5
Com isso em mente, se temos que
, e sabemos que
é crescente, então ao aumentar
de
para
, o valor de
também aumenta. Portanto,
.
Resposta
A afirmação é verdadeira porque o logaritmo natural é uma função crescente, ou seja, se
, então
.
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Simplifique:
Simplifique.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se , então
.
Se
Simplifique: