Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se x > 0, então (ln x)^6 = 6 ln x.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede para determinar se a afirmação "Se , então " é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções logarítmicas e propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Aqui, temos o logaritmo natural de , que é , elevado à sexta potência. Nosso objetivo é ver se isso é igual a seis vezes para todo .

Passo 3

Para resolver isso, podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Fatorando , temos:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 4

Vamos examinar cada caso:
  1. implica que .
  2. implica que , então .
Isso significa que a igualdade só é verdadeira para valores específicos de , ou seja, ou .

Passo 5

Como a afirmação "Se , então " deve valer para todos os para ser verdadeira, mas vimos que só funciona para valores específicos, a afirmação não é verdadeira em geral.

Resposta

A afirmação é falsa, pois só é válida para valores específicos de , não para todo .

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