Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação:
. O conteúdo dessa questão está relacionado às funções trigonométricas inversas. Para resolver, precisamos entender como funcionam as funções arco-tangente (
), arco-seno (
) e arco-cosseno (
) e verificar se a igualdade proposta é verdadeira para todos os valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são essas funções inversas. A função
nos dá o ângulo cujo tangente é
. De maneira similar,
nos dá o ângulo cujo seno é
, e
nos dá o ângulo cujo cosseno é
.
Passo 3
Vamos testar a igualdade proposta para um valor específico de
. Vamos escolher
.
Calculando cada parte:
Passo 4
Agora, substituindo na expressão:
Dividir por zero não é definido, o que já nos mostra um problema, pois o lado direito da igualdade não tem um resultado válido.
Passo 5
Além disso, vamos considerar outros valores de
. Por exemplo, se
:
Então:
Neste caso,
, o que parece correto, mas como vimos anteriormente, para
a igualdade não é válida.
Passo 6
Além dos exemplos, podemos analisar as derivadas das funções para verificar a consistência da igualdade, mas já com os exemplos anteriores, já sabemos que a afirmação não é verdadeira para todos os valores de
.
Resposta
A afirmação é falsa, pois para
, a expressão
não está definida, mostrando que a igualdade não vale para todos os valores de
.
Exercícios relacionados
Simplifique:
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se , então
.
Se
Mostre, usando a definição, que
é contínua em
.
Seja
. Decida se
é derivável e em caso afirmativo calcule
.