Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
pode ser colocado na forma
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem a expressão
e queremos saber se ela pode ser escrita como a soma de duas frações da forma
. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são frações parciais. Esse método é usado para decompor uma fração racional (onde o numerador e o denominador são polinômios) em uma soma de frações mais simples. Isso facilita a integração ou outras operações matemáticas.
Passo 3
Observamos que o denominador da nossa expressão original é
. Podemos fatorar isso como uma diferença de quadrados:
. Então, a fração original fica:
Passo 4
Agora, queremos expressar essa fração como a soma de
e
. Ou seja:
Passo 5
Para encontrar os valores de
e
, vamos somar as frações do lado direito:
Passo 6
Igualando os numeradores dos dois lados da equação, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 7
Agora, vamos expandir o lado direito:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
: Do lado esquerdo temos
, e do lado direito não temos nenhum termo em
, o que já indica um problema.
Passo 9
Como o lado direito não possui termo em
e o lado esquerdo tem
, não é possível igualar esses termos. Isso significa que não existe valores reais de
e
que satisfaçam a equação.
Resposta
A afirmação é falsa. Não é possível expressar
na forma
porque o denominador original não permite igualar os termos de
, tornando a decomposição impossível.
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