Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem a expressão e queremos saber se ela pode ser escrita como a soma de duas frações da forma . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são frações parciais. Esse método é usado para decompor uma fração racional (onde o numerador e o denominador são polinômios) em uma soma de frações mais simples. Isso facilita a integração ou outras operações matemáticas.

Passo 3

Observamos que o denominador da nossa expressão original é . Podemos fatorar isso como uma diferença de quadrados: . Então, a fração original fica:

Passo 4

Agora, queremos expressar essa fração como a soma de e . Ou seja:

Passo 5

Para encontrar os valores de e , vamos somar as frações do lado direito:

Passo 6

Igualando os numeradores dos dois lados da equação, temos:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 7

Agora, vamos expandir o lado direito:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para : Do lado esquerdo temos , e do lado direito não temos nenhum termo em , o que já indica um problema.

Passo 9

Como o lado direito não possui termo em e o lado esquerdo tem , não é possível igualar esses termos. Isso significa que não existe valores reais de e que satisfaçam a equação.

Resposta

A afirmação é falsa. Não é possível expressar na forma porque o denominador original não permite igualar os termos de , tornando a decomposição impossível.

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