Encontre o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o conjunto imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está definida e quais valores ela pode assumir. Vamos precisar revisar um pouco sobre funções de várias variáveis e como determinar esses conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
,
e
para os quais a função está definida. Como a função envolve raízes quadradas, os radicandos (as expressões dentro das raízes) precisam ser maiores ou iguais a zero para que a função seja real.
Vamos analisar cada parte:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, o domínio da função é todos os tripletos
onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir dentro do domínio.
Analisando cada termo da função:
-
: - Varia de
a (quando , a raiz é ; quando , a raiz é ).
- Varia de
-
: - Varia de
a .
- Varia de
-
: - Varia de
a .
- Varia de
Então, a soma
varia de
a
. Já o termo subtraído
varia de
a
.
Para encontrar os valores mínimo e máximo da função:
-
Valor mínimo: Ocorre quando
, e . Assim: -
Valor máximo: Ocorre quando
, e . Assim:
Portanto, o conjunto imagem da função
é o intervalo:
Resposta
O domínio da função é:
E o conjunto imagem é:
Exercícios relacionados
Encontre o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Calcular o limite de
quando
tende a 0 .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
pode ser colocado na forma
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. A Regra do Ponto Médio é sempre mais precisa que a Regra do Trapézio.