Encontre o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções: f(x, y, z) = raiz(4 - x^2) + raiz(5 - y^2) - raiz(3 - z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o conjunto imagem da função . Isso envolve entender onde a função está definida e quais valores ela pode assumir. Vamos precisar revisar um pouco sobre funções de várias variáveis e como determinar esses conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de , e para os quais a função está definida. Como a função envolve raízes quadradas, os radicandos (as expressões dentro das raízes) precisam ser maiores ou iguais a zero para que a função seja real.
Vamos analisar cada parte:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Então, o domínio da função é todos os tripletos onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir dentro do domínio.
Analisando cada termo da função:
  1. :
    • Varia de a (quando , a raiz é ; quando , a raiz é ).
  2. :
    • Varia de a .
  3. :
    • Varia de a .
Então, a soma varia de a . Já o termo subtraído varia de a .
Para encontrar os valores mínimo e máximo da função:
  • Valor mínimo: Ocorre quando , e . Assim:
  • Valor máximo: Ocorre quando , e . Assim:
Portanto, o conjunto imagem da função é o intervalo:

Resposta

O domínio da função é:
E o conjunto imagem é:

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