Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma primitiva elementar.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação para analisar é: “Toda função elementar tem uma primitiva elementar.” Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente no estudo de integrais e funções primitivas. Precisaremos entender o que são funções elementares e o que significa ter uma primitiva elementar para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, funções elementares são aquelas que podemos construir usando operações básicas como adição, subtração, multiplicação, divisão e composição a partir de funções básicas como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, etc.
Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Quando dizemos que uma função tem uma primitiva elementar, significa que essa antiderivada também é uma função elementar, construída das mesmas operações e funções básicas mencionadas.
No entanto, nem todas as funções elementares têm primitivas que também são elementares. Um exemplo clássico é a função . Ela é uma função elementar, mas sua primitiva não pode ser expressa usando funções elementares conhecidas. Isso ocorre porque a integral de está relacionada à função erro, que não é uma função elementar.

Passo 3

Com esse exemplo, podemos ver que a afirmação “Toda função elementar tem uma primitiva elementar” não é verdadeira, já que existe pelo menos uma função elementar que não possui uma primitiva elementar.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, a função é elementar, mas sua primitiva não pode ser expressa por funções elementares.

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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. A Regra do Ponto Médio é sempre mais precisa que a Regra do Trapézio.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se é uma função contínua, decrescente em e , então é convergente.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se e diverge, então também diverge.