Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a integral
é convergente ou não. Esse tipo de questão está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, especialmente aquelas que se estendem até o infinito. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma integral ser convergente e usar algumas propriedades das integrais de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
Aqui, temos uma função do tipo
, onde
. Agora, precisamos lembrar da regra para integrais do tipo
.
Passo 3
A regra geral diz que a integral
converge se e somente se
. Isso porque, quando
, a área sob a curva decresce rapidamente o suficiente para que a integral tenha um valor finito.
Passo 4
No nosso caso, temos
. Sabemos que
, então:
Como
é menor que
, de acordo com a regra que mencionamos, a integral deve ser convergente.
Passo 5
Para confirmar, podemos calcular a integral:
Como
, quando
tende ao infinito,
tende a zero. E quando
, a expressão é finita. Portanto, a integral realmente converge.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A integral
é convergente porque o expoente
é menor que
, garantindo que a área sob a curva seja finita.
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
pode ser colocado na forma
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
pode ser colocado na forma
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua, então
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma derivada elementar.