Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a integral é convergente ou não. Esse tipo de questão está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, especialmente aquelas que se estendem até o infinito. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma integral ser convergente e usar algumas propriedades das integrais de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
Aqui, temos uma função do tipo , onde . Agora, precisamos lembrar da regra para integrais do tipo .

Passo 3

A regra geral diz que a integral converge se e somente se . Isso porque, quando , a área sob a curva decresce rapidamente o suficiente para que a integral tenha um valor finito.

Passo 4

No nosso caso, temos . Sabemos que , então:
Como é menor que , de acordo com a regra que mencionamos, a integral deve ser convergente.

Passo 5

Para confirmar, podemos calcular a integral:
Como , quando tende ao infinito, tende a zero. E quando , a expressão é finita. Portanto, a integral realmente converge.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A integral é convergente porque o expoente é menor que , garantindo que a área sob a curva seja finita.

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. for contínua, então .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma derivada elementar.