Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
pode ser colocado na forma
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a expressão
e queremos saber se ela pode ser escrita como
. Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento de frações parciais, que é uma técnica da álgebra que ajuda a simplificar frações complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é frações parciais. Essa técnica serve para decompor uma fração racional (como a que temos) em uma soma de frações mais simples. Isso é útil para integrar funções, por exemplo. A ideia é escrever a fração original como uma soma de termos mais fáceis de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos examinar a forma que a questão sugere:
. Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar. A estrutura está dividida em duas frações, uma com o denominador
e outra com
.
Passo 4
Para ver se isso é possível, vamos colocar as duas frações do lado direito com um denominador comum. O denominador comum seria
. Então:
Passo 5
Agora, igualamos isso à fração original:
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Passo 6
Vamos reorganizar essa equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 7
Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 8
Vamos resolver o sistema:
- De
, já sabemos que . - De
, temos que . - Mas substituindo
na terceira equação: , ou seja, , o que é impossível.
Passo 9
Encontramos uma contradição na terceira equação (
), o que significa que não existe solução para
e
que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Resposta
A afirmação é falsa. Não é possível expressar
na forma
porque leva a uma contradição ao tentar igualar os coeficientes.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
pode ser colocado na forma
.
Trace a função
e use o gráfico para conjecturar o valor da integral
. Então, calcule a integral para confirmar sua conjectura.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
é convergente.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua, então
.