Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a expressão e queremos saber se ela pode ser escrita como . Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento de frações parciais, que é uma técnica da álgebra que ajuda a simplificar frações complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é frações parciais. Essa técnica serve para decompor uma fração racional (como a que temos) em uma soma de frações mais simples. Isso é útil para integrar funções, por exemplo. A ideia é escrever a fração original como uma soma de termos mais fáceis de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos examinar a forma que a questão sugere: . Aqui, e são constantes que precisamos encontrar. A estrutura está dividida em duas frações, uma com o denominador e outra com .

Passo 4

Para ver se isso é possível, vamos colocar as duas frações do lado direito com um denominador comum. O denominador comum seria . Então:

Passo 5

Agora, igualamos isso à fração original:
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:

Passo 6

Vamos reorganizar essa equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 7

Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
  1. De , já sabemos que .
  2. De , temos que .
  3. Mas substituindo na terceira equação: , ou seja, , o que é impossível.

Passo 9

Encontramos uma contradição na terceira equação ( ), o que significa que não existe solução para e que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

A afirmação é falsa. Não é possível expressar na forma porque leva a uma contradição ao tentar igualar os coeficientes.

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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .
Trace a função e use o gráfico para conjecturar o valor da integral . Então, calcule a integral para confirmar sua conjectura.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. é convergente.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. for contínua, então .