(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) Se f^prime(r) existe, então lim x r^+ f(x)=f(r).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se existe, então .” Estamos lidando com conceitos de derivadas e limites na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como isso se relaciona com os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se a derivada de uma função existe em um ponto , ou seja, existe, isso implica que a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 3

Agora, é importante entender que ser diferenciável em um ponto também significa que a função é contínua nesse ponto. Em outras palavras, se tem derivada em , então não tem “saltos” ou “buracos” em .

Passo 4

Com a função sendo contínua em limx r f(x) = f(r) , isso nos leva a conclusão que o limite de quando se aproxima de por qualquer direção (esquerda ou direita) é igual ao valor da função em . Formalmente, isso significa:

Passo 5

Especificamente, o limite pela direita (quando limx r^+ f(x) = f(r) se aproxima de pela parte positiva) também seguirá essa regra:

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se existe, então é contínua em , o que garante que o limite pela direita de quando se aproxima de é igual a .

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