(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) Se
existe, então
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se
existe, então
.” Estamos lidando com conceitos de derivadas e limites na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como isso se relaciona com os limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se a derivada de uma função
existe em um ponto
, ou seja,
existe, isso implica que a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 3
Agora, é importante entender que ser diferenciável em um ponto também significa que a função é contínua nesse ponto. Em outras palavras, se
tem derivada em
, então
não tem “saltos” ou “buracos” em
.
Passo 4
Com a função sendo contínua em
, isso nos leva a conclusão que o limite de
quando
se aproxima de
por qualquer direção (esquerda ou direita) é igual ao valor da função em
. Formalmente, isso significa:
Passo 5
Especificamente, o limite pela direita (quando
se aproxima de
pela parte positiva) também seguirá essa regra:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
existe, então
é contínua em
, o que garante que o limite pela direita de
quando
se aproxima de
é igual a
.
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