Encontre a derivada da função.
Se f(x)=integral0^x(1-t^2) e^t^2 d t, em qual intervalo f é crescente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral:
f(x) = integral0^x (1 - t^2) e^t^2 , dt
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função e descobrir em qual intervalo essa função está crescendo. Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . O Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função definida por uma integral de 0 até , a derivada dessa função em relação a é simplesmente a função integranda avaliada em .

Passo 3

Aplicando o teorema, a derivada de f'(x) = (1 - x^2) e^x^2 é:
Isso significa que para cada valor de , a inclinação da função é dada por essa expressão.

Passo 4

Agora, para saber onde a função f'(x) = (1 - x^2) e^x^2 > 0 está crescente, precisamos determinar onde a derivada é positiva, ou seja, onde:
Sabemos que é sempre positivo, independente do valor de . Então, a inequação depende de quando .

Passo 5

Vamos resolver a inequação 1 - x^2 > 0 x^2 < 1 -1 < x < 1 :
Então, a derivada é positiva quando está entre -1 e 1.

Resposta

A derivada da função é e a função está crescente no intervalo .

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