Encontre a derivada da função.
, em qual intervalo é crescente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função e descobrir em qual intervalo essa função está crescendo. Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . O Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função definida por uma integral de 0 até , a derivada dessa função em relação a é simplesmente a função integranda avaliada em .

Passo 3

Aplicando o teorema, a derivada de é:
Isso significa que para cada valor de , a inclinação da função é dada por essa expressão.

Passo 4

Agora, para saber onde a função está crescente, precisamos determinar onde a derivada é positiva, ou seja, onde:
Sabemos que é sempre positivo, independente do valor de . Então, a inequação depende de quando .

Passo 5

Vamos resolver a inequação :
Então, a derivada é positiva quando está entre -1 e 1.

Resposta

A derivada da função é e a função está crescente no intervalo .

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Em qual intervalo a curva
é côncava para baixo?
(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) Se existe, então .