Encontre a derivada da função.
, em qual intervalo
é crescente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função e descobrir em qual intervalo essa função está crescendo. Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função definida por uma integral de 0 até
, a derivada dessa função em relação a
é simplesmente a função integranda avaliada em
.
Passo 3
Aplicando o teorema, a derivada de
é:
Isso significa que para cada valor de
, a inclinação da função
é dada por essa expressão.
Passo 4
Agora, para saber onde a função
está crescente, precisamos determinar onde a derivada
é positiva, ou seja, onde:
Sabemos que
é sempre positivo, independente do valor de
. Então, a inequação depende de quando
.
Passo 5
Vamos resolver a inequação
:
Então, a derivada
é positiva quando
está entre -1 e 1.
Resposta
A derivada da função é
e a função
está crescente no intervalo
.
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Em qual intervalo a curva
Em qual intervalo a curva
é côncava para baixo?
(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) Se
existe, então
.