Encontre a derivada da função.
Em qual intervalo a curva
y=integral0^x t^2t^2+t+2 d t
é côncava para baixo?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a derivada da função definida pela integral:
y=integral0^x t^2t^2+t+2 , dt
E depois descobrir em qual intervalo essa curva é côncava para baixo. Vamos usar conceitos de derivadas e concavidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função y' = x^2x^2 + x + 2 . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se , então a derivada de em relação a é simplesmente . Ou seja:

Passo 3

Agora, para determinar a concavidade da curva, precisamos da segunda derivada de y' = x^2x^2 + x + 2 , ou seja, ( uv )' = u'v - uv'v^2 . Vamos derivar u' = 2x :
v' = 2x + 1
Para derivar essa fração, usamos a Regra do Quociente, que diz que:
y'' = (2x)(x^2 + x + 2) - (x^2)(2x + 1)(x^2 + x + 2)^2
Aqui, 2x(x^2 + x + 2) = 2x^3 + 2x^2 + 4x e x^2(2x + 1) = 2x^3 + x^2 . Vamos encontrar 2x^3 + 2x^2 + 4x - (2x^3 + x^2) = x^2 + 4x e y'' = x^2 + 4x(x^2 + x + 2)^2 :
Aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, a segunda derivada fica:

Passo 4

Para a curva ser côncava para baixo, a segunda derivada precisa ser negativa ( x^2 + 4x(x^2 + x + 2)^2 < 0 ). Vamos analisar quando isso acontece:
x^2 + 4x < 0
O denominador x(x + 4) < 0 é sempre positivo, já que é um quadrado. Então, a inequação depende apenas do numerador:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, fatoramos:
Os zeros da função são e . Vamos analisar os intervalos determinados por esses zeros:
  1. :
    • negativo
    • negativo
    • Produto positivo
  2. :
    • negativo
    • positivo
    • Produto negativo
  3. :
    • positivo
    • positivo
    • Produto positivo
A inequação é verdadeira apenas no intervalo onde o produto é negativo, ou seja, entre e .

Resposta

A curva é côncava para baixo no intervalo .

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