Encontre a derivada da função.
Em qual intervalo a curva
é côncava para baixo?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a derivada da função definida pela integral:
E depois descobrir em qual intervalo essa curva é côncava para baixo. Vamos usar conceitos de derivadas e concavidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se , então a derivada de em relação a é simplesmente . Ou seja:

Passo 3

Agora, para determinar a concavidade da curva, precisamos da segunda derivada de , ou seja, . Vamos derivar :
Para derivar essa fração, usamos a Regra do Quociente, que diz que:
Aqui, e . Vamos encontrar e :
Aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, a segunda derivada fica:

Passo 4

Para a curva ser côncava para baixo, a segunda derivada precisa ser negativa ( ). Vamos analisar quando isso acontece:
O denominador é sempre positivo, já que é um quadrado. Então, a inequação depende apenas do numerador:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, fatoramos:
Os zeros da função são e . Vamos analisar os intervalos determinados por esses zeros:
  1. :
    • negativo
    • negativo
    • Produto positivo
  2. :
    • negativo
    • positivo
    • Produto negativo
  3. :
    • positivo
    • positivo
    • Produto positivo
A inequação é verdadeira apenas no intervalo onde o produto é negativo, ou seja, entre e .

Resposta

A curva é côncava para baixo no intervalo .

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