Encontre a derivada da função.
Em qual intervalo a curva
é côncava para baixo?
Em qual intervalo a curva
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a derivada da função definida pela integral:
E depois descobrir em qual intervalo essa curva é côncava para baixo. Vamos usar conceitos de derivadas e concavidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se
, então a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Ou seja:
Passo 3
Agora, para determinar a concavidade da curva, precisamos da segunda derivada de
, ou seja,
. Vamos derivar
:
Para derivar essa fração, usamos a Regra do Quociente, que diz que:
Aqui,
e
. Vamos encontrar
e
:
Aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, a segunda derivada fica:
Passo 4
Para a curva ser côncava para baixo, a segunda derivada precisa ser negativa (
). Vamos analisar quando isso acontece:
O denominador
é sempre positivo, já que é um quadrado. Então, a inequação depende apenas do numerador:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, fatoramos:
Os zeros da função são
e
. Vamos analisar os intervalos determinados por esses zeros:
-
: -
negativo -
negativo - Produto positivo
-
-
: -
negativo -
positivo - Produto negativo
-
-
: -
positivo -
positivo - Produto positivo
-
A inequação
é verdadeira apenas no intervalo onde o produto é negativo, ou seja, entre
e
.
Resposta
A curva é côncava para baixo no intervalo
.
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é crescente?
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(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) Se
existe, então
.
Encontre uma equação polar que tenha o mesmo gráfico da equação em
e y: