Suponha que
seja uma função injetora, derivável e que sua função inversa seja também derivável. Use a derivação implícita para mostrar que
desde que o denominador não seja 0 .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A questão fala sobre uma função
que é injetora (ou seja, cada entrada tem uma saída única), derivável, e que sua função inversa
também é derivável. Nosso objetivo é mostrar, usando derivação implícita, que a derivada da função inversa é igual a:
Para isso, vamos precisar entender o que é função inversa, derivação implícita e como aplicar essas ideias para encontrar a derivada desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é função inversa. Se
é uma função inversa, então ela “desfaz” o que
faz. Em outras palavras, se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar
e
usando essa definição. Temos que:
Isso significa que se aplicarmos
na função inversa
, voltamos ao
original.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então precisamos usar a regra da cadeia para derivar o lado esquerdo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas obtidas:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar essa derivada.
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Isso mostra exatamente o que queríamos provar, desde que o denominador
não seja zero.
Resposta
Portanto, mostramos que:
desde que
.
Exercícios relacionados
Derive:
.
Calcule
.
b)
b)
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
Se
A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação
onde
é medi em quilopascals,
em litros e
em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de
para
e a temperatura diminui de 310 K para 305 K .