Determine uma representação em série de potências para e determine o intervalo de convergência da série obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar uma série de potências para a integral de uma função no intervalo de 0 até . Além disso, precisamos descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma série de potências termo a termo e como determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a função pode ser representada por uma série de potências. Ou seja, podemos escrever:
Aqui, são os coeficientes da série.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a integral de de 0 até . Vamos integrar a série termo a termo:

Passo 4

Integrando cada termo da série, temos:
Isso é válido dentro do intervalo de convergência da série original.

Passo 5

Calculando a integral de cada termo:
Portanto, substituindo de volta na série:

Passo 6

Podemos reescrever a série resultante para facilitar a visualização:

Passo 7

Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência da série obtida. Como integramos termo a termo, o raio de convergência da nova série é o mesmo da série original . Ou seja, se a série de converge para , a série da integral também converge para .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é o mesmo da série original de , ou seja, para , onde é o raio de convergência da série de .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
, onde é uma constante
Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função , ou seja, para . Determine o raio de convergência da série obtida.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
Seja , então .
Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função é dada por