Determine uma representação em série de potências para
e determine o intervalo de convergência da série obtida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar uma série de potências para a integral de uma função
no intervalo de 0 até
. Além disso, precisamos descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma série de potências termo a termo e como determinar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a função
pode ser representada por uma série de potências. Ou seja, podemos escrever:
Aqui,
são os coeficientes da série.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a integral de
de 0 até
. Vamos integrar a série termo a termo:
Passo 4
Integrando cada termo da série, temos:
Isso é válido dentro do intervalo de convergência da série original.
Passo 5
Calculando a integral de cada termo:
Portanto, substituindo de volta na série:
Passo 6
Podemos reescrever a série resultante para facilitar a visualização:
Passo 7
Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência da série obtida. Como integramos termo a termo, o raio de convergência da nova série é o mesmo da série original
. Ou seja, se a série de
converge para
, a série da integral também converge para
.
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência dessa série é o mesmo da série original de
, ou seja, para
, onde
é o raio de convergência da série de
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
, onde
é uma constante
Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função
, ou seja, para
. Determine o raio de convergência da série obtida.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
Seja , então
.
Seja
Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função
é dada por