Determine uma representação em série de potências para integral0^x f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar uma série de potências para a integral de uma função no intervalo de 0 até . Além disso, precisamos descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma série de potências termo a termo e como determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a função f(t) = sumn=0^infty an t^n pode ser representada por uma série de potências. Ou seja, podemos escrever:
Aqui, são os coeficientes da série.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a integral de integral0^x f(t) , dt = integral0^x sumn=0^infty an t^n , dt de 0 até . Vamos integrar a série termo a termo:

Passo 4

Integrando cada termo da série, temos:
integral0^x sumn=0^infty an t^n , dt = sumn=0^infty an integral0^x t^n , dt
Isso é válido dentro do intervalo de convergência da série original.

Passo 5

Calculando a integral de cada termo:
integral0^x t^n , dt = x^n+1n+1
Portanto, substituindo de volta na série:
sumn=0^infty an cdot x^n+1n+1

Passo 6

Podemos reescrever a série resultante para facilitar a visualização:
integral0^x f(t) , dt = sumn=0^infty ann+1 x^n+1

Passo 7

Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência da série obtida. Como integramos termo a termo, o raio de convergência da nova série é o mesmo da série original . Ou seja, se a série de converge para , a série da integral também converge para .

Resposta

A representação em série de potências para integral0^x f(t) , dt = sumn=0^infty ann+1 x^n+1 é:
E o intervalo de convergência dessa série é o mesmo da série original de , ou seja, para , onde é o raio de convergência da série de .

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