Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se a e b forem escalares e u e v vetores, entāo (a+b)(u+v)=a u+b v;

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a afirmação “ (a + b)(u + v) = a,u + b,v” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com operações de escalares e vetores, então vamos precisar lembrar como funciona a multiplicação de escalares por vetores e a soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão significa. Temos dois escalares, e , e dois vetores, e . A operação é simplesmente a soma dos dois escalares, resultando em outro escalar.

Passo 3

A expressão representa a soma dos dois vetores. Quando somamos vetores, somamos suas componentes correspondentes. Então, se e , então .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar o escalar (a + b)(u + v) = (a + b)(u1 + v1, u2 + v2, ldots, un + vn) = ((a + b)(u1 + v1), (a + b)(u2 + v2), ldots, (a + b)(un + vn)) pelo vetor . A multiplicação de um escalar por um vetor é feita multiplicando cada componente do vetor pelo escalar. Então:

Passo 5

Agora, vamos analisar a expressão do lado direito da igualdade proposta: a,u + b,v = (a,u1, a,u2, ldots, a,un) + (b,v1, b,v2, ldots, b,vn) = (a,u1 + b,v1, a,u2 + b,v2, ldots, a,un + b,vn) . Aqui, multiplicamos cada vetor pelos escalares separadamente e depois somamos os resultados:

Passo 6

Vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
(a + b)(u + v) = ((a + b)(u1 + v1), ldots, (a + b)(un + vn))
a,u + b,v = (a,u1 + b,v1, ldots, a,un + b,vn)
Para que as duas expressões sejam iguais, precisaríamos que:
(a + b)(ui + vi) = a,ui + b,vi para todo i
Expandindo o lado esquerdo:
a,ui + a,vi + b,ui + b,vi = a,ui + b,vi + a,vi + b,ui
Comparando com o lado direito , vemos que sobraram os termos , que não estão no lado direito.

Passo 7

Portanto, a igualdade só será verdadeira se para todo , o que não é garantido a menos que os escalares ou vetores sejam zero de alguma forma específica.

Resposta

A afirmação é falsa porque, em geral, não é igual a .

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