Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se
for um escalar e v, um vetor, então v e kv são paralelos se, e só se,
;
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: "Se
for um escalar e
um vetor, então
e
são paralelos se, e só se,
". Estamos lidando com conceitos de vetores paralelos e escalares. Vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos e como a multiplicação por um escalar afeta essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas. Isso pode ser representado matematicamente como
sendo um múltiplo escalar de
, ou seja,
para algum escalar
.
Passo 3
Agora, consideremos o vetor
. A multiplicação de um vetor por um escalar
altera a magnitude do vetor e, dependendo do sinal de
, pode também inverter sua direção:
- Se
, o vetor tem a mesma direção que . - Se
, o vetor tem a direção oposta a . - Se
, o vetor é o vetor nulo, que é considerado paralelo a todos os vetores.
Passo 4
O enunciado afirma que
e
são paralelos se, e só se,
. Mas, como vimos:
- Quando
, certamente e são paralelos. - Quando
, e ainda são paralelos, pois estão em direções opostas. - Quando
, é o vetor nulo, considerado paralelo a qualquer vetor.
Passo 5
Portanto, a condição de
não é necessária para que
e
sejam paralelos. Mesmo quando
, os vetores continuam sendo paralelos, apenas na direção oposta.
Resposta
A afirmação é falsa, pois
e
são sempre paralelos para qualquer escalar
, não apenas quando
.