Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se k for um escalar e v, um vetor, então v e kv são paralelos se, e só se, k >= 0;

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: "Se for um escalar e um vetor, então e são paralelos se, e só se, ". Estamos lidando com conceitos de vetores paralelos e escalares. Vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos e como a multiplicação por um escalar afeta essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas. Isso pode ser representado matematicamente como sendo um múltiplo escalar de , ou seja, para algum escalar .

Passo 3

Agora, consideremos o vetor . A multiplicação de um vetor por um escalar altera a magnitude do vetor e, dependendo do sinal de , pode também inverter sua direção:
  • Se , o vetor tem a mesma direção que .
  • Se , o vetor tem a direção oposta a .
  • Se , o vetor é o vetor nulo, que é considerado paralelo a todos os vetores.

Passo 4

O enunciado afirma que e são paralelos se, e só se, . Mas, como vimos:
  • Quando , certamente e são paralelos.
  • Quando , e ainda são paralelos, pois estão em direções opostas.
  • Quando , é o vetor nulo, considerado paralelo a qualquer vetor.

Passo 5

Portanto, a condição de não é necessária para que e sejam paralelos. Mesmo quando , os vetores continuam sendo paralelos, apenas na direção oposta.

Resposta

A afirmação é falsa, pois e são sempre paralelos para qualquer escalar , não apenas quando .

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