Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Os vetores v+(u+w) e(w+v)+u sâo iguais;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a afirmação "Os vetores e " são iguais é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui é a álgebra vetorial, especificamente as propriedades das operações com vetores. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar a propriedade comutativa e associativa da adição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas propriedades:
  • Comutativa: Diz que a ordem dos vetores na soma não altera o resultado. Ou seja, .
  • Associativa: Diz que quando somamos três vetores, a forma de agrupar não altera o resultado. Ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar os dois vetores dados:
Primeiro, vamos aplicar a propriedade associativa no primeiro vetor:
Agora, vamos reescrever o segundo vetor usando a propriedade comutativa para rearranjar a soma dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, comparemos as duas expressões:
  • Do primeiro vetor:
  • Do segundo vetor:
Aqui, podemos aplicar novamente a propriedade associativa para juntar os termos de forma diferente:
E do segundo vetor:

Passo 5

Observando que na adição de vetores a ordem não importa (propriedade comutativa), temos:
Portanto, as duas expressões são iguais.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Os vetores e são iguais devido às propriedades associativa e comutativa da adição de vetores.

Exercícios relacionados