Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Os vetores
sâo iguais;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a afirmação "Os vetores
e
" são iguais é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui é a álgebra vetorial, especificamente as propriedades das operações com vetores. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar a propriedade comutativa e associativa da adição de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas propriedades:
- Comutativa: Diz que a ordem dos vetores na soma não altera o resultado. Ou seja,
. - Associativa: Diz que quando somamos três vetores, a forma de agrupar não altera o resultado. Ou seja,
.
Passo 3
Vamos analisar os dois vetores dados:
Primeiro, vamos aplicar a propriedade associativa no primeiro vetor:
Agora, vamos reescrever o segundo vetor usando a propriedade comutativa para rearranjar a soma dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, comparemos as duas expressões:
- Do primeiro vetor:
- Do segundo vetor:
Aqui, podemos aplicar novamente a propriedade associativa para juntar os termos de forma diferente:
E do segundo vetor:
Passo 5
Observando que na adição de vetores a ordem não importa (propriedade comutativa), temos:
Portanto, as duas expressões são iguais.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Os vetores
e
são iguais devido às propriedades associativa e comutativa da adição de vetores.