Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se o gráfico de y = f(x) tiver uma assíntota horizontal quando x -> +infinito, então a sequência {f(n)}_{n=1}^{+\infty} convergirá.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para saber se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se o gráfico de tiver uma assíntota horizontal quando , então a sequência convergirá.”
Vamos usar conceitos de Limites e Assíntotas Horizontais para resolver. Precisamos entender o que é uma assíntota horizontal e como isso se relaciona com o comportamento de uma sequência derivada de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota horizontal. Quando dizemos que a função tem uma assíntota horizontal quando , significa que existe um número real tal que:
Isso quer dizer que, conforme aumenta e vai tendendo ao infinito positivo, o valor de se aproxima cada vez mais de .

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a sequência . Essa sequência é formada pelos valores da função quando assume valores inteiros positivos, ou seja, .
Para que a sequência converja, precisamos que ela tenha um limite finito quando tende ao infinito. Ou seja, deve existir um número real tal que:

Passo 4

Mas olha só, lembra da assíntota horizontal? Se , isso implica que independentemente de ser contínuo ou apenas valores inteiros, à medida que (ou ) fica muito grande, (ou ) estará cada vez mais próximo de .
Isso significa que:
Portanto, a sequência não só tem um limite, como também converge para .

Resposta

A afirmação é verdadeira porque se a função tem uma assíntota horizontal quando , então a sequência converge para o mesmo valor .

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