Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se o gráfico de
tiver uma assíntota horizontal quando
, então a sequência
convergirá.
Se o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para saber se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se o gráfico de
tiver uma assíntota horizontal quando
, então a sequência
convergirá.”
Vamos usar conceitos de Limites e Assíntotas Horizontais para resolver. Precisamos entender o que é uma assíntota horizontal e como isso se relaciona com o comportamento de uma sequência derivada de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota horizontal. Quando dizemos que a função
tem uma assíntota horizontal quando
, significa que existe um número real
tal que:
Isso quer dizer que, conforme
aumenta e vai tendendo ao infinito positivo, o valor de
se aproxima cada vez mais de
.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a sequência
. Essa sequência é formada pelos valores da função
quando
assume valores inteiros positivos, ou seja,
.
Para que a sequência
converja, precisamos que ela tenha um limite finito quando
tende ao infinito. Ou seja, deve existir um número real
tal que:
Passo 4
Mas olha só, lembra da assíntota horizontal? Se
, isso implica que independentemente de
ser contínuo ou apenas valores inteiros, à medida que
(ou
) fica muito grande,
(ou
) estará cada vez mais próximo de
.
Isso significa que:
Portanto, a sequência
não só tem um limite, como também converge para
.
Resposta
A afirmação é verdadeira porque se a função
tem uma assíntota horizontal quando
, então a sequência
converge para o mesmo valor
.