Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se {a_n}_{n=1}^{+\infty} e {b_n}_{n=1}^{+\infty} são sequências convergentes então {a_n + b_n}_{n=1}^{+∞} será uma sequência convergente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício está perguntando se a afirmação “Se e são sequências convergentes, então também é convergente” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de sequências convergentes e as propriedades das operações com sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se existe um número real tal que, conforme aumenta, os termos se aproximam cada vez mais de . Matematicamente, escrevemos:

Passo 3

Agora, suponha que temos duas sequências convergentes: convergente para e convergente para . Queremos saber se a sequência formada pela soma desses termos, ou seja, , também converge.

Passo 4

Existe uma propriedade das sequências convergentes que diz exatamente isso: a soma de duas sequências convergentes é também uma sequência convergente, e o limite dessa soma é a soma dos limites individuais. Ou seja:

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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