Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se
e
são sequências convergentes então
será uma sequência convergente.
Se
Passo 1
Vamos lá! O exercício está perguntando se a afirmação “Se
e
são sequências convergentes, então
também é convergente” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de sequências convergentes e as propriedades das operações com sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
é convergente se existe um número real
tal que, conforme
aumenta, os termos
se aproximam cada vez mais de
. Matematicamente, escrevemos:
Passo 3
Agora, suponha que temos duas sequências convergentes:
convergente para
e
convergente para
. Queremos saber se a sequência formada pela soma desses termos, ou seja,
, também converge.
Passo 4
Existe uma propriedade das sequências convergentes que diz exatamente isso: a soma de duas sequências convergentes é também uma sequência convergente, e o limite dessa soma é a soma dos limites individuais. Ou seja:
Resposta
A afirmação é verdadeira.