Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Então, a gente tem que olhar para a sequência
e decidir se ela converge ou diverge. Basicamente, vamos ver se essa sequência se aproxima de algum número específico quando n fica bem grande. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge se, quando n tende ao infinito, os termos dela se aproximam de um número finito. Se os termos ficam cada vez maiores sem limite, a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência
. Aqui, cada termo é 2 elevado a n. Sabemos que, conforme n aumenta, 2^n cresce bem rápido. Por exemplo:
- Para n=1, 2¹ = 2
- Para n=2, 2² = 4
- Para n=3, 2³ = 8
- E assim por diante…
Passo 4
Matematicamente, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
Como 2 é maior que 1, sabemos que 2^n cresce sem limites conforme n aumenta.
Passo 5
Portanto, o limite de 2^n quando n vai para o infinito é infinito, ou seja:
Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número específico.
Resposta
A sequência
é divergente.