Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
{2^n}_{n=1}^{+infinito}

Passo 1

Então, a gente tem que olhar para a sequência {2^n}_{n=1}^{+infinito} e decidir se ela converge ou diverge. Basicamente, vamos ver se essa sequência se aproxima de algum número específico quando n fica bem grande. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge se, quando n tende ao infinito, os termos dela se aproximam de um número finito. Se os termos ficam cada vez maiores sem limite, a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência . Aqui, cada termo é 2 elevado a n. Sabemos que, conforme n aumenta, 2^n cresce bem rápido. Por exemplo:
  • Para n=1, 2¹ = 2
  • Para n=2, 2² = 4
  • Para n=3, 2³ = 8
  • E assim por diante…

Passo 4

Matematicamente, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
Como 2 é maior que 1, sabemos que 2^n cresce sem limites conforme n aumenta.

Passo 5

Portanto, o limite de 2^n quando n vai para o infinito é infinito, ou seja:
Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número específico.

Resposta

A sequência {2^n}_{n=1}^{+infinito} é divergente.

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