integral d xx+x raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral dxx + x raizx
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integração de funções racionais e substituição. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e talvez usar uma substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral. Observamos que:
x + x raizx = x (1 + raizx)
Então, a integral fica:
integral dxx (1 + raizx)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por 1x (1 + raizx) = 1x cdot 11 + raizx :
integral 1x (1 + raizx) dx
Então, a integral pode ser reescrita como:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar u = raizx Rightarrow x = u^2 . Então:
dx = 2u , du
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos integral 1u^2 (1 + u) cdot 2u , du = 2 integral uu^2 (1 + u) du = 2 integral 1u (1 + u) du e na integral original:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a fração dentro da nova integral:
1u (1 + u) = 1u - 11 + u
Então, a integral fica:
2 integral ( 1u - 11 + u ) du

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
2 ( integral 1u du - integral 11 + u du ) = 2 ( ln|u| - ln|1 + u| ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos 2 ( ln|raizx| - ln|1 + raizx| ) + C de volta na expressão:
Podemos simplificar , mas vamos deixar assim para manter a clareza.

Resposta

Portanto, a integral é:
2 ln|raizx| - 2 ln|1 + raizx| + C
Ou, simplificando:
2 ln( raizx1 + raizx ) + C

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